DE L ALGORITHME. 9I

Soit, par exemple, proposé d'intégrer la quantité différentielle

Je vois que l'exposant 3 de la variable hors du binôme, étant augmenté d'une unité, devient 4> qui est exactement divisible par l'exposant 2 de la variable dans le binôme, et que le quotient est un nombre entier positif. J'en conclus que la différentielle proposée est intégrable et que, pour obtenir cette intégrale cherchée, il n'y a qu'à faire le binôme a -^bx^ égal à une nouvelle variable. En effet, si l'on suppose a -+• bx^ = y, et que l'on fasse les opérations indiquées, on trouvera, abstraction faite de la constante.

(à H- b.T^Y x^dx

86. Lorsque les quantités différentielles à une seule variable ne sont pas comprises dans la règle que nous venons d'expliquer ou dans les cas qui en dérivent, comme on vient de le voir, on tâche de les y ramener par diverses transformations. Lorsqu'on ne peut y réussir, on réduit les expressions proposées en séries, qui forment des suites infinies de monômes, et l'on intègre ainsi par approximation.

Soit maintenant proposé d'intégrer dzcosz.

Je dig que l'on aura

J'dz cosz = sin2 + C.

C étant la constante qu'on doit ajouter à toute intégrale. En effet, en différentiant sin z-hC suivant la règle

prescrite (65), on aurar/^cosz; donc, réciproquement ^ % rintégrale de dscosz est

sin3 -\- C.

Pareillement on aura, en général,

Jzcosmz = — sinm^ -4- C.

Soit proposé d'intégrer* dz sinmz. On aura

' f dzsmmz = cosmz -4- (m

car, en différentiant cette équation (65), on retombe sur une équation identique.

Soit proposé d* intégrer dzsin z", ie remarque que dz cosz est différentielle de sin z ; donc cette intégration rentre dans la règle générale des monômes, qui donne

sin 3"+*

87. Considérons maintenant les quantités différentielles qui renferment plusieurs variables.

Puisque, pour différentier une fonction qui contient plusieurs variables,, il faut différentier successivement, relativement à chacune d'elles, en regardant toutes les autres comme constantes, réciproquement, pour intégrer une fonction différentielle à plusieurs variables, il faut d'abord n'en considérer qu'une comme variable, intégrer par conséquent comme si toutes les autres étaient constantes et que leurs différentielles fussent o ; l'intégrale ainsi trouvée, on la différentie par rapport à toutes les variables, pour savoir si la différentielle ainsi trouvée est identique avec la proposée. Si elle l'est, l'intégrale est juste, et il n'y a plus qu'à y ajouter une

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constante; si elle ne Test pas, en ôtant de la proposée celle qu'on a trouvée, il restera une quantité que l'on intégrera, pour la joindre avec ce qu'on a déjà.