Soit, par exemple, proposé d'intégrer la différentielle

Zx^ydx -^ x^dy -\- 5xy^dj -i-jr^dx.

J'intègre en regardant x .seule comme variable, et par conséquent comme si y était constant et que dy fût égale à o ; j'ai par ce moyen x^j -hj'^JO, Cette quantité, différentiée en faisant varier x eijy me donne

Zx^ydx -hy^dx 4- x^djr -j- Sxy^djr^

qui est la même chose que la proposée. J'en conclus que l'intégrale cherchée est réellement

plus une constante.

Soit proposé d'intégrer

x^df -h 3 x^jr dx -4- .r* fl?2 -4- 2 xz dx -+- xdx -+- jr^ df.

J'intègre en regardant x seule comme variable, et par conséquent dj et dz comme nulles. J'aurai

x^jr -\- x^z -h — •

Je dîfférentie maintenant cette quantité en faisant varier ^ij»^>etj'ai

Zx'^ydx -\- x"^ dy -\- *ixzdx -f- x^dz -i- xdx.

Je retranche cette différentielle de la proposée, et il me reste j^2<7y^. Je prends donc l'intégrale de cette dernière

quantité, c'est-à-dire -5-? que j'ajoute à ce que j'ai déjà

trouvé, et j'ai pour l'intégrale complète

laquelle, étant diflerentiée, redonne en effet la quantité différentielle proposée.

89. Puisque les quantités différentielles sont ellesmêmes susceptibles de différentiation, les fonctions dans lesquelles il se trouve des différentielles secondes, troisièmes, etc., peuvent se trouver susceptibles d'intégration. Soit, par exemple, proposé d'intégrer la quantité différentielle du second ordre

d.x:^ -f- xddx -h addx — dy^^

dans laquelle dj soit considérée comme constante. En suivant ce qui vient d'être dit ci-dessus, c'est-à-dire en intégrant comme si ddx seule était variable, achevant l'opération et complétant l'intégrale par l'addition d'une constante Cdy, du même ordre que les autres quantités de la formule, nous aurons

xdx: -V- adx — ydy-^Ç» dy,

quantité différentielle qui, intégrée de nouveau, donne

{x^ -f- ax — |j2 + Cj -h C.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les principes du Calcul intégral; ce que nous venons de dire suffit à notre objet. Nous nous bornerons donc à un petit nombre d'applications, renvoyant pour le surplus de cette vaste science aux Ouvrages des savants auteurs qui en ont traité ex professa.

90. Soit proposé de tr ouvrer Vaire de la courbe dont U équation est

DE l'algorithme. qS

en supposant, pour plus de simplicité, les coordonnées / rectangulaires ,

Pour trouver Taire d'une courbe, nous la considérons comme formée en croissant continuellement par l'addition successive des petits trapèzes mixtilignes compris entre les ordonnées consécutives qui répondent aux accroissements infiniment petits de l'abscisse, de sorte que le dernier de ces petits trapèzes est la différentielle de l'aire cherchée, et celle-ci l'intégrale de cette différentielle.

Nommant donc Z l'aire cherchée, rfZ sera la valeur du dernier petit trapèze mixtiligne.

Or, d'un autre côté, si nous négligeons le petit triangle mixtiligne compris entre l'arc de la courbe et les petites lignes dx, dj^ lequel est visiblement infiniment petit à l'égard de te trapèze, l'aire de celui-ci se réduira au rectangle qui a pour basej^ et pour hauteur dx^ c'est-à-dire kjdx.

Donc, pour toute courbe, nous aurons l'équation imparfaite

et par conséquent aussi

(A) TAZ=.Jydx,

Mais dans le cas présent nous avons, par hypothèse,

substituant cette valeur de j^ dans l'équation (A), nous aurons la nouvelle équation imparfaite

laquelle, étant intégrée, donne

Z=— îîi-(x-(-a) '" -f-C, /n -t- I ^ '

gG CHAPITRE II.

équation qui, étant dégagée de toute considération de Tinfîni, est rigoureusement exacte.