Soit proposé de rectifier la courbe qui a pour équation

en supposant les coordonnées rectangulaires.

Pour rectifier une courbe, nous la considérons comme un polygone d^une infinité de côtés, et nous la supposons formée en croissant continuellement par l'addition successive de ces petits côtés, à mesure que Tabscisse augmente elle-même, de sorte que le dernier de ces petits côtés est la différentielle de Tare cherché, et celuici rintégrale de cette différentielle.

Nommant donc s l'arc cherché, ds sera le dernier des petits côtés du polygone, et, comme ce petit côté est l'hypoténuse du triangle qui a dx et rfy pour ses autres côtés, on aura pour toute courbe l'équation imparfaite

ds = sjdx^ -j- df^ ;

je dis équation imparfaite, parce qu'en considérant la courbe comme un polygone d'une infinité de côtés on commet une erreur, mais cette erreur peut être supposée aussi petite qu'on le veut; donc on a aussi l'équation imparfaite

(A) s—f^^^dy.

Mais dans le cas présent nous avons, par hypothèse,

d'où l'on tire

fl.r*,