C. — Métaphys

Nommant donc V le volume cherché, dV sera la valeur de la dernière tranche.

Or^ d'un autre côté, en négligeant les onglets compris entre la surface extérieure du corps proposé et le petit prisme qui a pour base la plus petite des bases de la tranche, lequel est évidemment infiniment petit à l'égard de cette tranche, celle-ci se réduira à cette plus petite base multipliée par sa hauteur djo. Donc, en nommant k cette base, on a pour tous les corps cette équation imparfaite

dV = hdx,

et par conséquent

(A) y=zfkdx.

Cela posé, dans le cas présent, il s'agit d'un solide de révolution, et k est un cercle qui a pour rayon j^; donc, en nommant xs le rapport de la circonférence au diamètre, on aura

donc l'équation imparfaite (A) devient

(B) V=/nTjV.r.

Mais, par hypothèse, nous avons/'- = />a:; donc

V =fx:3pxdx,

ou, en effectuant l'opération indiquée,

V=:|cT/?jr*-4-C ou

équation qui, étant entièrement dégagée de toute considération de l'infini, est parfaitement rigoureuse.

Pour déterminer C, il faut fixer le point d'où l'on veut partir pour le volume cherché. Si l'on veut partir du

DK L'ALUORITHMK. 99

soslnmei de Taxe par exemple, on aura j? = o et V = 3; donc alors = 0, et la formule se réduira à

c'est-à-dire que le volume cherché sera égal air produit de la base uj^ par la moitié |.r de la hauteur.

93. Soit proposé de tromper le centre des moyennes distances ou centre de grai^ité d'une pyramide.

Pour avoir la distance du centre de gravité de plusieurs corps à un plan donné, il faut multiplier la masse de chacun de ces corps par sa distance au plan donné et diviser le tout par la somme des masses.

Cela posé, concevons du sommet de la pyramide au centre des moyennes distances de sa base une ligne droite ; il est clair que le centre cherché des moyennes distances de la pyramide sera dans cette droite : il reste donc à savoir quelle est la distance de ce centre à la base de cette pyramide, et c'est ce que nous devons trouver d'après le principe établi ci-dessus.

Pour cela, je nomme H la hauteur de la pyramide, B sa base et x la distance du sommet à Tune quelconque des coupes faites parallèlement à cette base.

X venant à augmenter de dx^ la petite tranche qui répondra à cette augmentation sera la différentielle du volume de la pyramide.

Or, comme les sections parallèles à la base sont proportionnelles aux carrés des distances au sommet, la

section correspondant à la hauteur x sera 7îi«^^? et le

volume de la tranche, en négligeant Tonglet comme infiniment petit relativement à cette tranche, sera, par conséquent,

lOO CHAPITRE II.

donc son moment relativement à la base sera

-— (H =- jc)a:^dx.

Donc c'est la somme de ces moments ou l'intégrale de cette quantité différentielle qu'il faut diviser par le volume de la pyramide pour avoir la distance cherchée du centre des moyennes distances de la pyramide à la base, c'est-à-dire que, si l'on nomme Y cette distance, on aura l'équation imparfaite

J ip^^^

ou, en exécutant les opérations indiquées et réduisant,

/'^(IH^r'-ix^l-I.C

équation qui, ne contenant plus de quantités infinitésimales, est rigoureusement exacte.

Pour achever la solution, il faut déterminer les constantes C, G'; or, comme il s'agit de la pyramide entière, il faut d'abord supposer x = o; alors les deux intégrales deviennent aussi chacune o; on a donc C = o, C'= o. Donc l'équation se réduit à

et, faisant x = H, on a pour la pyramide entière

c'est-à-dire que le centre cherché des moyennes distances de la pyramide est sur la droite menée du sommet

DE l'algorithme. lOt.

au centre des moyennes distances de la base et au quart de cette ligne à partir de cette même base«

94. Soit propose de tromper l'équation de la courbe dont la sous-tangente est à l'abscisse dans un rapport donné, c'est-à-dire que, x étant l'abscisse, la sous-tan-gente soit nix^ oit m est supposée constante.

L'expression générale de la sous-tangente, dans une courbe quelconque dont les coordonnées sont x et j^,

estj'-j-^ c'est-à-dire que j^— diffère infiniment peu de

la sous-tangente. Nous avons donc dans le cas présent

l'équation imparfaite

dx

d'où je tire

dy dx

y mx et, en intégrant,

logj = - logx -f- loga, m

a étant une constante.

Multipliant par m et réduisant, on aura

logj'" logor -h loga*",

ou

ou enfin

logj'" logâî'^a:,

y.m , fjmjcy

équation qui, étant dégagée de toute considération de l'infini, est rigoureusement exacte.