DU CALCUL DES VARIATIONS

95. Le Calcul des variations est l'une des plus brillantes conceptions xle notre immortel Lagrange. L'objet

lOa CHAPITRE II.

principal de ce Calcul est de résoudre d'une manière générale les fameuses questions de nutximis et minirms qui occupèrent si longtemps les premiers géomètres de FEurope, peu après Tinvention du Calcul infinitésimal.

Euler avait déjà traité ces questions avec sa profondeur et sa clarté ordinaires dans un Ouvrage à part, intitulé Methodus irn^eniendi lincas cun^as maxima minirnav^e proprietate gaud entes ; mais c'est à Lagrange qu'on doit l'algorithme qui a donné à cette belle théorie un caractère propre et une marche uniforme et simple autant que possible.

Dans les questions ordinaires de maximis et minimis, il s'agit de trouver des valeurs déterminées qu'on doit attribuer aux diverses variables qui entrent dans telle ou telle fonction finie proposée de ces mêmes variables, pour que cette fonction obtienne la plus grande ou la plus petite valeur possible.

Dans le Calcul des variations, au contraire, ce sont les relations mêmes qui existent entre les variables qu'il s'agit de trouver, c'est-à-dire les équations qui doivent avoir lieu entre ces variables pour satisfaire à la condition du niaxiiniun ou du minimum. De plus, la fonction qui doit être un maximum ou minimum n'est pas, comme dans les questions ordinaires, uniquement composée de quantités finies, mais elle doit être l'intégrale seulement indiquée d'une fonction différentielle qui n'est pas susceptible d'intégration.

96. Qu'il soit question, par exemple, de tracer sur un plan {Jig. 9), entre deux points A, D, une courbe telle que, AR étant Taxe et DR l'ordonnée menée du point D perpendiculairement à cet axe, Taire comprise entre la courbe et les coordonnées AR, DR soit un maximum parmi toutes les courbes de même longueur.

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Quoique ce problème appartienne à la théorie générale des maximis et minimis, on voit cependant qu'il est d'une nature bien difTérente de ceux dont nous avons parlé (73), car il ne s'agit point ici de trouver les valeurs déterminées AK, DK de x el j qui satisfassent à la question proposée, puisque ces valeurs sont déjà données; mais il s'agit de trouver la nature même de cette courbe, c'est-à-dire l'équation générale qui doit

1 vTîi?

avoir lieu pour tous ses points entre les coordonnées.

L'aire comprise entre cette courbe, quelle qu'elle puisse être, et les coordonnées extrêmes AK, DK est Jjdx : c'est donc cette intégrale simplementindiquée qui doit être un maximum. Ainsi, dans cette espèce de questions, c'est, comme nous l'avons dit ci-dessus, l'intégrale d'une certaine quantité différentielle non intégrable qui doit être un minimum, et il s'agit de trouver la relarion qui doit exister entre les variables pour satisfaire à cette condition.

97. Cependant le principe général est toujours le même que pour les questions ordinaires des ntaximis et minimis, c'est-à-dire que, quand la quantité qui doit

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devenir un Tnaximuniy par exemple, est parvenue à ce terme, elle ne peut plus augmenter. En approchant de ce terme, elle augmente de moins en moins jusqu'à ce qu'elle l'ait atteint; alors elle devient comme stationnaire, pour commencer ensuite insensiblement à diminuer : de sorte que, à cet état de maximum, la quantité peut être considérée comme constante ou ayant pour différentielle o, quoique celles des quantités variables dont elle est fonction ne le soient pas. Donc, si la forme de la courbe venait à varier infiniment peu pour devenir AM'N'D, et qu'on désignât les nouvelles coordonnées para:',j^, Wire jy dxf pourrait être considérée comme égale à fydx, ou, ce qui revient au même, l'accroissement que prend fjdx pour devenir JVt/o:' doit être supposé égal à- o lorsque la relation àe x di j est celle qui convient au maxim.um cherché. Or c'est cet accroissement qu'on nomme la variation àe Jjdx, comme on va le dire.

98. Soit donc AM'N'R'D une courbe quelconque infiniment peu différente de la première ; si l'on considère cette nouvelle courbe comme la courbe même AMNRD, qui subit une transformation infiniment petite, nous pourrons regarder chaque point M' de la transformée comme un point M de l'autre qui a passé de M en M', de sorte que chajcun des points de la nouvelle courbe a son correspondant dans la première. Cela posé, l'accroissement que reçoit dans ce changement chacune des quantités qui entrent dans le système lorsqu'il passe de son premier état au second se nomme variation de cette quantité. Ainsi, par exemple, la variation MP est M'F — MP; celle NQ est N'Q'— NQ; celle de la courbe entière est

AM'N'R'D — AMNRD;

DE l'algorithme. to5

celle de sa surface est

A M' N' R' D KA — AMNRDK A ;

ainsi des autres.

99. Quoique la variation d'une quantité soit la différence de deux valeurs infiniment peu différentes de la même quantité, il ne faut pas la confondre avec sa différentielle, car celle-ci est la différence de deux valeurs consécutives prises sur la même courbe, au lieu que la variation est la différence des deux valeurs prises d'une courbe à l'autre : ainsi, par exemple, la différentielle de l'abscisse est AQ — AP, tandis que sa variation est AP' — AP; la différentielle de l'ordonnée est NQ — MP, tandis que sa variation est M'P' — MP, etc.

Pour ne pas confondre ces deux espèces de différences, on désigne la nouvelle espèce, c'est-à-dire la variation, par la caractéristique o, tandis que la différentielle a pour caractéristique d. Ainsi PQ = dx, tandis que PP'^ $x ; NQ— MP = rfj, tandis que M'F— MP= (îj, etc.

Lorsqu'on passe du point M au point N sur la première courbe, on passe du point M' au point N' sur la seconde : ainsi, PQ étant la différentielle de a:, c'està-dire la quantité dont x augmente lorsqu'on passe de M à N, FQ' sera la différentielle de AF, c'est-à-dire la quantité dont AF oxxx -\-^x augmente en même temps ; de même N'Q'— M'F est la différentielle de M'F ou àe j -^ dj,

100. Les variations ne sont, ainsi que les différentielles, introduites dans le calcul que comme de simples auxiliaires, pour aider à découvrir la relation qui doit réellement exister entre les coordonnées de la première

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courbe. Il faudra donc s'attacher à éliminer toutes ces variations après les avoir introduites, afin qu'il ne reste plus que la relation cherchée entre les coordonnées, ou, si Ton veut, entre ces coordonnées d'abord et leurs différentielles, et ensuite, par voie d'intégration ou autrement, entre les seules ordonnées et les constantes qui composent le système des quantités désignées.

101. Nous avons déjà remarqué que les combinaisons de l'Analyse en général sont fondées sur les divers degrés d'indétermination dont jouissent les quantités mêlées ensemble dans un même calcul. On en a ici un nouvel exemple, car les variations sont des quantités encore plus indéterminées que les différentielles, déjà elles-mêmes, comme on Ta vu, plus indéterminées que les simples variables.

En effet, lorsque l'on conçoit que la nature d'une courbe vient à changer infiniment peu, on regarde toujours la première courbe comme un terme fixe auquel on la rapporte dans ses divers états successifs. Les petits changements opérés s'expriment par le moyen des variations que subissent les coordonnées et autres quantités du système, et ces variations peuvent être supposées aussi petites qu'on le veut, sans rien changer au système désigné, tandis que celui qui est donné parles variations est un système auxiliaire qui s'approche continuellement du premier, jusqu'à en différer aussi peu qu'on le veut.

Les' différentielles sont assujetties à la loi prescrite par la relation des coordonnées, au lieu que la loi qui lie les variations à ces coordonnées est arbitraire, d'où il suit que, quoique les unes et les autres soient de simples auxiliaires, ces dernières sont plus indéterminées que les premières, puisqu'elles pourraient changer encore, quand même on regarderait celles-ci comme fixes.

DE l'algorithme. lOJ

102. Si Ton suppose que x soit l'une des variables et j/ la quantité infiniment peu différente qui lui correspond dans le nouveau système, {j/ — x) sera la quantité infiniment petite dont x aura augmenté pour devenir x', et par conséquent ce qîie nous avons appelé la variation de x, ou Sx. U est donc évident que pour trouver la variation d'une fonction quelconque de x, il n'y aura qu'à y substituer (x -h âx) au lieu de x, puis en retrancher la première fonction : procédé qui, étant absolument le même que celui de la différentiation, montre qu'il n'y a de différence entre la variation et la différentielle que dans la caractéristique, qui est $ pour la première et d pour la seconde.

103. Les règles étant entièrement les mêmes pour les deux calculs, sauf les caractéristiques, il est clair que la variation de dx est $ dx et que, réciproquement, la différentielle de Jj: est dâx. Mais avec un peu d'attention nous reconnaîtrons facilement que ces deux quantités âdx et dSx sont les mêmes et ne diffèrent que par leurs formes, c'est-à-dire qu'on a nécessairement

En effet, nous avons quatre systèmes de quantités à comparer, savoir : i" le système qui répond au point M; a® le système qui répond au point N et auquel on passe du premier par différentiation ; 3** le système qui répond au point M' et auquel on passe du premier par variation ; 4" le système qui répond au point N' et auquel on passe soit du deuxième, répondant au point N par variation, soit du troisième, répondant au point M' par différentiation.

Or la valeur de la variable qui répond au premier de ces quatre systèmes, c'est-à-dire au système désigné,

to8 CHAPITRE 11.

esta: par hypothèse; celle qui répond au second est (.r -+- dx) ; celle qui répond au troisième est (x ■+- Jx), et enfin celle qui répond au quatrième est, suivant la route qu'on prend pour y parvenir, ou

[x + dr,) -\- S[x '\- dx), OU

[x -H Sx) -h d{x -I- ^.r).

Ces deux dernières quantités expriment donc la même chose, savoir la valeur de la variable x dans le quatrième système ; ces deux quantités sont donc égales, c'est-à-dire qu'on a

(.r -h dx) -h S[x -+- dx) = (x -f- Sx) -4- rf (.r H- Sx] ;

exécutant les opérations indiquées, on aura

X 4- dx H- Sx -h Sdx 3= j; -h (? x -h dx -I- dSx,

et, réduisant,

Sdx =z dSx^

c'est-à-dire que la variation de la différentielle d'une quantité quelconque est toujours égale à la différentielle de la variation : proposition qui est l'un des principes fondamentaux du Calcul des variations.

104. Un autre principe qui dérive du premier et qui est également fondamental est que la variation de l'intégrale d'une quantité quelconque différentielle est égale à t intégrale de la variation, c'est-à-dire qu'en général

P exprimant une fonction quelconque différentielle de diverses variables, telles que x, j*, ^, ..., et de leurs différentielles.