METHODE DES INDIVISIBLES. J2I

reusement un principe qui était généralement reconnu comme un axiome. Les objections ne se sont élevées contre ce principe que quand il a été réduit en algorithme, comme si Ton avait regretté que les routes scientifiques, jusqu'alors si difficiles à parcourir, eussent été tout d'un coup aplanies et rendues accessibles à tout le monde. Je termine ces observations par un ou deux exemples.

in. L'Algèbre ordinaire enseigne à trouver la somme d'une suite quelconque de termes pris dans la série des nombres naturels, la somme de leurs carrés, celle de Jeurs cubes, etc., et cette connaissance fournit à la Géométrie des indivisibles le moyen d'évaluer l'aire d'un g^and nombre de figures rectilignes et curvilignes et les volumes d'un grand nombre de corps.

Soit par exemple un triangle : abaissons de son sommet sur la base une perpendiculaire, partageons cette perpendiculaire en une infinité de parties égales, et menons par chacun des points de division une droite parallèle à la base et qui soit terminée par les deux autres côtés du triangle.

Suivant les principes de la Géométrie des indivisibles, nous pouvons considérer l'aire du triangle comme la somme de toutes les parallèles qui en sont regardées comme les éléments : or, par la propriété du triangle, ces droites sont proportionnelles à leurs distances du sommet^ donc, la hauteur étant supposée divisée en parties égales, ces parallèles croissent en progression arithmétique ou par différence, dont le premier terme est zéro.

Mais, dans tou te progression par différence, dont le premier terme est zéro, la somme de tous les termes est égale au dernier multiplié par la moitié du nombre de ces

termes. Or^ ici, la somme des termes est représentée par Taire du triangle, le dernier terme par la base et le nombre des termes par la hauteur. Donc l'aire de tout triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.

118. Soit une pyramide ; abaissons une perpendiculaire de son sommet sur la base, partageons cette perpendiculaire en une infinité de parties égales, et par chaque point de division faisons passer un plan parallèle à la base de cette pyramide.

Suivant les principes de la Géométrie des indivisibles, l'intersection de chacun de ces plans par le volume de la pyramide sera un des éléments de ce volume, et celui-ci ne sera autre chose que la somme de tous ces éléments.

Mais, par les propriétés de la pyramide, ces éléments sont entre eux comme les carrés de leurs distances au sommet. Nommant donc B la base de la pyramide, H sa hauteur, b l'un quelconque des éléments dont nous venons de parler, h sa distance au sommet et V le volume de la pyramide, on aura

B : ^ : : H^ : //«; donc

Donc V, qui est la somme de tous ces éléments, est

égale à la constante — multipliée par la somme des

carrés /i'-^, et, puisque les distances h croissent en progression par différence dont le premier terme est zéro et le dernier H, c'est-à-dire comme les nombres naturels depuis zéro jusqu'à H, les quantités li- représenteront leurs carrés depuis zéro jusqu'à H^.

eli:

le::

n pi'

MÉTHODE DES INDÉTERMmÉES. 123

Or TAlgèbre ordinaire nous apprend que la somme des carrés des nombres naturels depuis zéro jusqu'à H^

'* inclusivement est

«îH^-f-aH'-hH

Mais ici, le nombre H étant infini, tous les termes qui suivent le premier dans le numérateur disparaissent visà-vis de ce premier terme : donc cette somme des car-

rés se réduit à -^H^.

Multipliant donc cette valeur par la constante r-^ trouvée ci-dessus, on aura, pour le volume cherché.

c'est-à-dire que le volume de la pyramide est le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

On prouve, par une marche semblable, qu'en général Faire de toute courbe qui a pour équation

a^'" =zz x"

est XY, Y représentant la dernière ordonnée,

X l'abscisse qui lui répond, m, n des exposants quelconques, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs. Ainsi, la méthode des indivisibles supplée à certains égards au Calcul intégral; on peut la regarder comme répondant à l'intégration des monômes, ce qui était certainement une grande découverte du temps de Gavalerius.