TP

\MP a

^ ^-+./'=io

JC

soit une équation exacte ; mais je reconnais bientôt que cette dernière quantité y'' est égale à zéro, parce que, si elle n'était pas nulle, elle ne pourrait être qu'infiniment petite, tandis qu'il n'entre aucune quantité infinitésimale dans le premier terme ; or cela est impossible, à moins que chacun de ces termes pris séparément ne soit égal à zéro, d'où je conclus qu'on a exactement

TP r

MP a-^ X

et, partant, les quantités 9,9' et cj*" ont été, non pas supprimées comme nulles, mais simplement sous-entendues pour simplifier le calcul.

124. Pour second exemple, proposons-nous de prouver que l'aire d'un cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon, c'est-à-dire qu'en nommant R ce rayon, n le rapport de la circonférence à ce même rayon, et par conséquent uR cette circonférence,

MÉTHODE DES INDÉTERMINÉES. fOlQ

S la surface du cercle, on doit avoir

Pour cela, j'inscris au cercle un polygone régulier, puis je double successivement le nombre de ses côtés jusqu'à ce que Taire de ce polygone diffère aussi peu qu'on le voudra de l'aire du cercle. En même temps, le périmètre du polygone différera aussi peu qu'on le voudra de la circonférence carR, et l'apothème aussi peu qu'on le voudra du rayon R. Donc l'aire S différera aussi peu qu'on le voudra de -^nfi* ; donc, si nous faisons

la quantité y, si elle n'est pas zéro, pourra être au moins supposée aussi petite qu'on le voudra. Cela posé, je mets cette équation sous la forme

équation à deux termes, dont le premier ne renferme aucune arbitraire, et dont le second, au contraire, peut être supposé aussi petit qu'on le veut; donc, par la théorie des indéterminées, chacun de ces termes en particulier est égal à zéro. Donc nous avons

S— |ciR«i=o on S — ^ctR%

ce qu il fallait démontrer,

12S. Soit proposé maintenant de trouver quelle est la valeur qu'il faut donner à Jc pour que sa fonction ax — jcx soit un maximum.

Le cas du maximum doit avoir lieu évidemment lorsque, en ajoutant à l'indéterminée x une valeur arbitraire ody l'augmentation correspondante de la fonction proposée ax — xx pourra être rendue aussi petite qu'on