C. — Métaphys

]3o CHAPITRE m.

le voudra, par rapport à a/, en diminuant celle-ci de plus en plus. 1

Or, si j'ajoute à j: la quantité j/, j'aurai pour Taugmentation de la fonction proposée

fl(.r 4- x') — (.r -h x')' — (ax — .rr)

OU, en réduisant,

c'est donc le rapport de cette quantité à afy ou

qui doit pouvoir être supposée aussi petite qu'on le veut. Soit cette quantité = ç ; nous aurons donc

a — 'ix — a;' r= ç) OU

équation à deux termes, dont le premier ne renferme aucune arbitraire et dont le second peut être supposé aussi petit qu'on le veut ; donc, par la théorie des indéterminées, chacun de ces termes pris séparément est égal à zéro. Donc nous avons

a — 2j: = o ou .r =r |<i,

ce qu'il fallait trouver.

126. Soit proposé de prouver que deux pyramides de même base et de même hauteur sont égales entre elles.

Concevons ces pyramides partagées en un même nombre de tranches, toutes de même hauteur. Chacune de ces tranches pourra évidemment être regardée comme composée de deux parties, dont l'une sera un prisme

MÉTHODE DES INDÉTERMINÉES. l3l

ayant pour base la plus petite des deux qui terminent la tranche, et l'autre sera l'espèce d'onglet qui entoure ce prisme.

Si donc nous appelons V, Vies volumes des deux pyramides, P, P les sommes respectives des prismes dont nous venons de parler, q^c( les sommes respectives des onglets, nous aurons

mais il est clair que P = P : donc

y — q = ^i'—q' ou (V — V)- (7 — 7')=o.

Mais le premier terme de cette équation ne renferme aucune arbitraire, et le second peut évidemment être supposé aussi petit qu'on le veut. Donc, par la théorie des indéterminées, chacun de ces termes en particulier est égal à zéro. Donc on a V — V'=o ou V = V, ce q uil fallait démontrer .

127. Soit proposé de trouver le volume d'une pyramide dont la base est B et la hauteur H.

Concevons cette pyramide partagée en une infinité de tranches de même épaisseur; soient x la distance de Tune quelconque de ces tranches au sommet de la pyramide et a/ l'épaisseur de cette tranche. Dans la pyramide, les aires des coupes faites parallèlement à la base sont comme les carrés de leurs distances au sommet ; donc la base supérieure ou petite base de la tranche

éloignée du sommet de la distance x est w^JO*' Doncle volume de cette tranche, abstraction faite de l'onglet, est — x' j/; donc le volume total de la pyramide, abstraction faite des onglets, est la somme de tous ces éléments. Et puisque, a/ pouvant être supposée aussi petite qu'on

l3a CHAPITRE III.

le veut, chaque onglet peut également être supposé aussi petit qu'on le veut relativement au volume de la

tranche^ la somme de tous les éléments -r^jc^a/ diffère

aussi peu qu'on le veut du volume cherché de la pyramide. Nommons donc V ce volume, nous aurons exactement

V = som 77z^^^' -^ ?»

(f désignant une quantité qui peut être supposée aussi petite qu'on le veut.

Mais, puisque B, H et a/ sont des quantités constantes, c'est-à-dire les mêmes pour toutes les tranches, il est clair que

som —r x'.r' H'

est la même chose que

B Jr'3 / X

som — : •

Or -^ est évidemment le nombre des tranches com-

prises depuis le sommet jusqu'à x; donc somi -7 j pour

la pyramide entière est la somme des carrés des nombres

naturels depuis zéro jusqu'à —7-

Mais on sait que cette suite de carrés des nombres naturels est

Substituant cette somme dans l'équation trouvée cidessus, nous auroûs

Bx^ /^H^ 3H* H\

MÉTHODE DES IXDETERUINÉES. l33

OU, en transformant pour séparer les termes arbitraires de ceux qui ne le sont pas,

(V-iBH)-[^— -^-j-H,J=o,

équation rigoureusement exacte à deux termes, dont le premier ne contient que des quantités désignées ou non arbitraires, et dont le second peut être rendu aussi petit qu'on le veut. Donc chacun de ces termes pris séparément est égal à zéro : donc nous avons par le premier