V--iBH = o ou VnrjBH

ce qu il fallait trouver,

La solution qu'on vient de donner est analogue à la méthode des indivisibles, ou plutôt c'est la méthode même des indivisibles rendue rigoureuse par quelques légères modifications, au moyen de la méthode des indéterminées. Nous allons maintenant appliquer celle-ci à la même question, en employant la notation de l'Analyse infinitésimale, pour faire voir comment toutes ces méthodes se tiennent, ou plutôt comment elles ne sont toutes qu'une seule et même méhode envisagée sous différents aspects.

En conservant les dénominations ci-dessus, nous avons d\ pour l'élément de la pyramide. De plus, nous avons pour valeur du même élément, en négligeant l'onglet,

donc nous avons exactement

dV = :^-^ d.r. -+- <p,

cj> exprimant une quantité qui peut être supposée aussi

l34 CHAPITRE III.

petite qu'on le veut relativement à chacun des autres termes.

Prenant de part et d'autre la somme exacte des éléments, nous aurons l'équation rigoureuse

(A) V = 8om --T j:*«/x -t- somy.

Or l'intégrale ordinaire

du premier terme du second membre est

G exprimant une constante ; mais la différentielle exacte de cette intégrale n'est pas

elle est

c'est-à-dire que nous avons exactement

donc, en prenant de part et d'autre la somme exacte, nous aurons

( Tlïâ ^-^C\:= som— .T^dx -h som — [3x(i.v* -h dx^)

ou, en transposant,

— x*dx=z f — x»H- Cj — som — {3xdx*-hdx^),

som

MÉTHODE DES INDÉTERMINÉES. l35

Substituanl dans Téquation (A), nous aurons exactement

V =:: ( -5-— i -«^' -+- G I — som — [3jcdjc^ -+- dx^ ) — som f 1 n

équation dans laquelle le dernier terme seul contient des quantités arbitraires et peut être supposé aussi petit qu'on le veut. Faisons donc, pour abréger, ce terme ç'; Téquation deviendra, en transposant,

équation dont, par les principes de la méthode des indéterminées, chaque terme pris séparément est égal à zéro, ce qui donne

Pour déterminer G, il n'y a qu'à faire x = o; alors on a V = o.Donc C = o ; donc l'équation se réduit à

c'est-à-dire que le volume de la pyramide depuis le t

sommet jusqu'à la hauteur x est ôrn^ donc, pour avoir

le volume total de la pyramide, il n'y a plus qu'à supposer j: = H, ce qui donnera enfin

V=riBH.

128. Cette solution, comme on le voit, n'est autre chose que celle qu'on obtiendrait par les procédés de l'Analyse infinitésimale, en ne négligeant rien, et l'Analyse infinitésimale ordinaire n'est qu'une abréviation de ces procédés, puisqu'elle ne néglige que les quan-

l36 CUAPITRE III.

tités 79 CJ'^ qui ne tombent dans le résultat du calcul que sur celle des équations dontonn^a pas besoin, entre les deux dans lesquelles il se décompose. Or, ce que l'Analyse infinitésimale néglige ainsi par simple fiction sous le nom de quantités infiniment petites, on peut simplement le sous-entendre pour conserver la rigueur géométrique pendant tout le cours du calcul : on voit donc que la méthode des indéterminées fournit une démonstration rigoureuse du Calcul infinitésimal et qu'elle donne en même temps le moyen d'y suppléer, si l'on veut, par l'analyse ordinaire. Il eût été à désirer peutêtre qu'on fût parvenu par cette vole aux Calculs différentiel et intégral; ce qui était aussi naturel que le chemin qu'on a pris et aurait prévenu toutes les difficultés.

nE LA MÉTHODE DES PREMIÈRES ET DERNIÈRES RAISONS