MÉTHODE DES LIMITES

tités s'approchent respectivement et simultanément d'autres quantités qui sont considérées comme fixes, jusqu'à en différer toutes en même temps aussi peu qu'on le veut, les rapports qu'ont entre elles ces quantités fixes sont les dernières raisons de celles qui sont supposées s'en approcher respectivement et simultanément, et ces quantités fixes elles-mêmes sont appelées limites ou dernières valeurs de celles qui s'en approchent ainsi.

Ces dernières valeurs et dernières raisons sont aussi appelées premières ^valeurs et premières raisons des quantités auxquelles elles se rapportent, suivant que l'on considère les variables comme s'approchant ou s'éloignant des quantités considérées comme fixes qui leur servent de limites.

130. Ces limites ou quantités considérées comme fixes peuvent cependant être variables comme seraient, par exemple, les coordonnées d'une courbe, c'est-à-dire qu'elles peuvent n'être pas données par les conditions de la question, mais seulement déterminées par les hypothèses subséquentes sur lesquelles le calcul est établi. Ainsi, par exemple, quoique les coordonnées d'une courbe soient comprises parmi les quantités qu'on nomme variables, parce qu'elles ne sont point du nombre des données, si je me propose une question à résoudre sur la courbe dont il s'agit, comme celle de lui mener une tangente, il faudra, pour établir mes raisonnements et mon calcul, que je commence par attribuer des valeurs déterminées à ces coordonnées et que je continue à les regarder comme fixes jusqu'à la fin de mon calcul. Or ces quantités, considérées comme fixes, sont comprises, aussi bien que les données mêmes du problème, parmi celles que nous appelons limites.

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131. Ces limites sont précisément les quantités dont on cherche la relation ; celles qui sont supposées s'en approcher graduellement ne sont que des quantités auxiliaires que l'on fait intervenir pour faciliter l'expression des conditions du problème, mais qui ne peuvent rester dans le calcul et qu'il faut nécessairement éliminer pour obtenir les résultats cherchés ; elles sont, par conséquent, de celles que nous avons nommées quantités non désignées, tandis que leurs limites ou dernières valeurs sont les quantités dont on veut obtenir la relation, et que nous appelons quantités désignées.

On voit ainsi l'analogie qui doit exister entre la théorie des premières ou dernières raisons et la méthode infinitésimale, car ce que dans celle-ci on nomme quantités infiniment petites n'est évidemment autre chose, d'après la définition que nous en avons donnée (14), que la différence d'une quantité quelconque à sa limite, ou, si l'on veut, une quantité dont la limite est o ; et les quantités qui ont pour dernière raison une raison d'égalité ne sont autre chose que celles qui, dans l'Analyse infinitésimale, sont nommées quantités infiniment peu différentes l'une de l'autre.

132. On voit encore par là que la notion de quantité infiniment petite n'est pas moins claire que celle de limite, puisque ce n'est autre chosa que la différence de cette même limite à la quantité dont elle exprime la dernière valeur. Mais la différence qu'il y a en ce qu'on appelle proprement méthode des limites et celle qu'on appelle méthode infinitésimale , consiste en ce que dans la première on n'admet en effet dans le calcul que les limites elles-mêmes, qui sont toujours des quantités désignées, au Heu que dans la méthode infinitésimale on admet aussi les quantités non désignées, qui sont sup-

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posées s'en approcher continuellement, et les différences de ces quantités non désignées à leurs limites : ce qu donne à la méthode infinitésimale plus de moyens i « variçr ses expressions et ses transformations algébriques, sans qu'il puisse y avoir la moindre différence dans la rigueur des procédés.

133. La faculté que se procure ainsi la méthode infinitésimale la rend susceptible encore d'un nouveau degré de perfection bien plus important : c'est de pouvoir être réduite en un algorithme particulier, car ces diffé* renées entre les quantités non désignées et leurs limites sont ce qu'on a distingué sous le nom de différentielles de ces mêmes limites, et les simplifications auxquelles donne lieu l'admission de ces quantités dans le calcul sont précisément ce qui donne à l'Analyse infinitésimale de si puissants moyens.

Néanmoins la méthode des limites, quoique restreinte par la faculté dont elle se prive d'introduire dans le calcul les quantités auxiliaires dont ces limites ne sont que les dernières valeurs, cette méthode, dis-je, l'emporte encore de beaucoup pour la facilité des calculs sur la simple méthode d'exhaustion, parce qu'elle s'affranchit au moins de la réduction à l'absurde pour chaque cas particulier, opération la plus pénible de celles qui constituent la méthode d'exhaustion ; tandis que dans l'autre méthode, pour établir l'égalité de deux quantités quelconques, il suffit de prouver qu'elles sont toutes deux limites d'une même troisième quantité.

134'. Il n'y a aucune distinction à faire entre la méthode des limites et celle des premières ou dernières raisons. Newton n'en fait aucune ; il emploie indifféremment le nom de limite d'une quantité ou dernière

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valeur de cette quantité , limite du rapport de deux quantités ou dernière raison de ces deux quantités. Je fais cette réflexion parce qu'il y a des personnes qui croient vaguement qu'il existe quelque différence entre la méthode des limites, telle que d'Alembert Ta expliquée à l'article Différentiel de l'Encyclopédie, et la méthode des premières et dernières raisons, telle que Newton l'a expliquée dans le Livre des Principes, C'est absolument la même chose, et d'Alembert déclare positivement dans cet article qu'il n'y est que l'interprète de Newton. Cette méthode étant très connue, il nous suffira d'en donner un exemple.