DE LA METHODE DES FLUXIONS

136. Newton considère une courbe comme engendrée par le mouvement uniforme d'un point; il décompose à chaque instant la vitesse constante de ce point en deux autres, l'une parallèle à l'axe des abscisses et l'autre parallèle à Taxe des ordonnées. Ces vitesses sont ce qu'il

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appelle fluxions de ces coordonnées, tandis que la vitesse arbitraire du point qui décrit la courbe est la fluxion de l'arc décrit.

Réciproquement, cet arc décrit est appelé \^ Jluf^nte de la vitesse avec laquelle il est décrit par le point mobile, l'abscisse correspondante est appelée fluente de la vitesse de ce point estimée dans le sens de cette abscisse, et l'ordonnée est appelée fluente de la vitesse de ce même point estimée dans le sens de cette ordonnée.

Puisque la fluxion de l'arc est supposée constante, il estévident que, à moins que le chemin du point décrivant ne se fasse en ligne droite, les fluxions de Tabscisse et de l'ordonnée seront variables, et que leur rapport à chaque instant dépendra de la nature de la courbe, c'està-dire de la relation même de ces coordonnées.

Réciproquement, la relation des coordonnées dépend nécessairement de celle qui existe à chaque instant entre les fluxions de ces coordonnées. On peut donc demander quel- est le moyen de découvrir la relation qui existe entre les fluxions lorsque l'on connaît celle qui existe entre les coordonnées-, et, réciproquement, quel est celui de découvrir la relation qui existe entre les coordonnées lorsque l'on connaît celle qui existe entre les fluxions seules ou combinées avec les coordonnées ellesmêmes. La première partie de ce problème est ce qu'on nomme méthode des fluxions, ^l la seconde méthode inverse des fluxions,

137. Mais ces premières notions peuvent être généralisées, car, à mesure que le point décrivant parcourt la courbe, non seulement l'abscisse et l'ordonnée changent, mais encore la sous-tangente, la normale, le rayon de courbure, etc., c'est-à-dire que ces quantités croissent ou décroissent plus ou moins rapidement, ainsi que

MÉTHODE DES f^LUXIONS. l43

les coordonnées elles-mêmes. Toutes ces quantités ont donc des fluxions, dont les rapports sont également déterminés par le mouvement du point que décrit uniformément la courbe; ainsi ces quantités sont ellesmêmes des fluentes. Or, c'est l'art de déterminer les relations de toutes ces fluentes par l'entremise de leurs fluxions employées comme auxiliaires, que l'on nomme méthode directe et inverse desjluxions, ou méthode des Jluxiqns et Jluentes,

Cette méthode s'applique non seulement aux lignes courbes, mais par analogie on l'étend aux aires que renferment ces courbes, aux surfaces courbes et aux volumes qu'elles terminent, aux forces qui mettent les corps en mouvement et aux efiets qu'elles produisent ; on en applique, en un mot, la théorie à tout ce qui fait l'objet des Mathématiques et des sciences physico-mathématiques, aussi bien que la méthode d'exhaustion ellemême et tous les modes de calcul qui en dérivent.

138. La méthode des fluxions n'admet, comme on le voit, dans le calcul que des quantités finies, puisque ces fluxions ne sont autre chose que des vitesses, qui sont des quantités finies. On peut même prendre ces vitesses respectives avec lesquelles les coordonnées croissent pour coordonnées d'une nouvelle courbe, lesquelles auront aussi leurs fluxions, qui seront pareillement des quantités finies, et celles-ci pourront encore être prises pour coordonnées d'une troisième courbe, ainsi de suite, sans que jamais il entre dans le calcul autre chose que des quantités finies.

139. Il y a une fluxion principale qui est choisie à volonté, mais qui, étant une fois adoptée, règle toutes les autres : on peut choisir celle que l'on veut. Nous

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avons supposé que c'était la vitesse absolue du point décrivant, que nous avons regardée comme uniforme ; mais on peut supposer également que c'est la vitesse dans le sens de l'abscisse, ou toute autre qui soit uniforme et qui serve de terme de comparaison.

140. La méthode des fluxions etfluentes dérive naturellement de celle des premières et dernières raisons, car la vitesse variable d'un point n*est pas le chemin décrit par ce point dans un temps donné, divisé par ce temps, mais la première ou dernière raison de ce rapport, c'est-à-dire la quantité, dont ce rapport approche de plus en plus, à mesure que ce temps est supposé plus court.

141 . Cette observation a été le prétexte d'une objection élevée contre la méthode des fluxions, car, a-t-on dit, c'est introduire dans la Géométrie, qui appartient aux Mathématiques pures, la notion des vitesses, qui n'appartient qu'aux Mathématiques mixtes, et définir une idée qui doit être simple par une autre qui est complexe.

Mais cette objection est assez frivole, car la véritable chose à considérer est de savoir si la théorie est plus facile à saisir de cette manière que d'une autre. Le classement que nous faisons des sciences est assez arbitraire. Nous plaçons la Géométrie avant la Mécanique dans l'ordre de la simplicité, mais les parties transcendantes de la première sont bien plus abstraites que les parties élémentaires de la seconde, et, comme le dit Lagrange, (c chacun a ou croit avoir une idée nette de la vitesse »; ce n'est donc pas prendre une marche contraire à l'esprit des Mathématiques que de définir les fluxions par les vitesses.

METHODE DES FLUXIONS. I^b

142. Nous venons de voir que les vitesses qu'on nomme fluxions sont les dernières raisons des espaces parcourus et des temps employés aies parcourir; mais, si Ton compare ensemble deux de ces vitesses ou fluxions, par exemple la fluxion de Tabscisse avec celle de l'ordonnée, ces fluxions auront elles-mêmes entre elles une raison^ qui n'est autre chose que la limite du rapport des difl*érentielles de ces coordonnées. Ainsi la méthode des fluxions n'est encore, comme on le voit, que la méthode infinitésimale, et par conséquent la méthode d'exhaustion envisagée sous un nouveau point de vue, et l'on aperçoit facilement le lien qui unit toutes ces méthodes les unes aux autres.

143. Les procédés de la méthode des fluxions ne diffèrent de ceux de l'Analyse infinitésimale que par la notation. Au lieu de la caractéristique <i, dont on se sert dans celle-ci, on pointe les lettres dans la méthode des fluxions, c'est-à-dire que la fluxion de la variable ou

fluente .r, par exemple, est représentée par j?, mais avec

cette distinction que x représente une quantité finie qui est la vitesse du point décrivant dans le sens des abscisses, tandis quedx, dans le Calcul différentiel, représente une quantité infiniment petite, qui est l'accroissement instantané de cette même abscisse.

De même, si l'on conçoit une nouvelle courbe dont les coordonnées soient les fluxions respectives de x et y y les fluxions de ces nouvelles coordonnées seront des fluxions de fluxions, et devront, d'après la notation in-

diquée, être exprimées dans le calcul par Xy y^ et ces . . . • Xy y seront encore des quantités finies, tandis que les

différentielles secondes ddxy ddy^ qui leur correspondent dans la méthode infinitésimale, sont des