DU CALCUL DES QUANTITÉS ÉVANOUISSANTES

14o. La plupart des savants, pour concilier la simplicité de la notation leibnitzienne avec la rigueur géométrique, prennent le parti de considérer les quantités infiniment petites comme absolument nulles. La métaphysique du Calcul infinitésimal est développée sous ce point de vue avec une grande' clarté dans la Préface du Calcul différentiel d'Euler : « Le Calcul différentiel, dit ce grand géomètre, est l'art de trouver le rapport des accroissements évanouissants que prennent des fonctions quelconques, lorsqu'on attribue à la quantité variable dont elles sont fonctions un accroissement évanouissant. »

Newton avait déjà admis, dans son livre des Principes, la notion des quantités évanouissantes. « Il faut, dit-il, entendre par la dernière raison des quantités évanouissantes la raison qu'ont entre elles des quantités qui diminuent, non pas avant de s'évanouir, ni après qu'elles sont évanouies, mais au moment même où elles s'évanouissent. »

D'Alembert rejette cette explication, quoiqu'il adopte complètement d'ailleurs la doctrine de Newton sur les limites ou premières et dernières raisons des quantités.

« Cette méthode, dit Lagrange, a le grand inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles cessent, pour ainsi dire, d'être quantités; car, quoique l'on conçoive toujours bien le rapport de deux quantités, tant qu'elles demeurent finies, ce rapport n'offre plus à l'esprit une idée claire et précise aussitôt que ses termes deviennent l'un et l'autre nuls à la fois. »

Il semble néanmoins que, les quantités infiniment pe-

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tites étant des variables, rien n'empêche qu'on ne puisse leur attribuer la valeur o, aussi bien que toute autre. Il

est vrai qu'alors leur rapport est -> qui peut être également supposé a ou bj aussi bien que toute autre quantité quelconque.

146. La considération de ces quantités évanouissantes serait donc à peu près inutile, si l'on se bornait à les traiter dans le calcul comme des quantités simplement nulles : car elles n'offriraient plus que le rapport de o à o, qui n'est pas plus égal à a qu'à 3 ou à toute autre quantité ; mais il ne faut pas perdre de vue que ces quantités nulles ont ici des propriétés particulières, comme dernières valeurs des quantités indéfiniment décroissantes dont elles sont les limites, et qu'on ne leur donne la dénomination particulière à^ évanouissantes qu'afin d'avertir que de tous les rapports ou relations dont elles sont susceptibles en qualité de quantités nulles, on ne veut considérer et faire entrer dans les combinaisons que celles qui leur sont assignées par la loi de continuité, lorsque l'on imagine le système des quantités auxiliaires s'approchant par degrés insensibles du système des quantités désignées; et c'est là précisément ce qu'entend Newton, lorsqu'il dit que les quantités évanouissantes sont des quantités considérées, non avant qu'elles s'évanouissent, non après qu'elles se sont évanouies, mais à l'instant même où elles s'évanouissent.

Dans le cas traité ci-devant (9), par exemple, tant que

RS ne coïncide point avec MP, la fraction — - est plus

TP

grande que — ; ces deux fractions ne deviennent égales

qu'au moment où MZ et RZ se réduisent à zéro. Il est

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vrai qu'alors :^ est aussi bien égale à toute autre quan-