TP . G

tîté qu'à — , puisque - est une quantité absolument ar-

bi traire ; mais, parmi les diverses valeurs qu'on peut al-

MZ TP

tribuer à -— » —y est la seule qui soit assujettie à la loi

de continuité et déterminée par elle ; car, si Ton construisait une courbe dont l'abscisse fût la quantité indé-

MZ finiment petite MZ, et l'ordonnée proportionnelle à r^^r^

celle qui répondrait à l'abscisse nulle serait représentée

TP par — , et non par une quantité arbitraire : or, c'est ce

qui distingue les quantités que je nomme épanouissantes de celles qui sont simplement nulles.

Ainsi, quoique en général on ait

o = !iXo = 3Xo=i4Xo==...,

on ne peut pas dire d'une quantité évanouissante, telle que MZ,

MZ = 2MZ=:3MZ = 4MZ=...j

car la loi de continuité ne peut assigner entre MZ et MZ d'autre rapport que celui d'égalité, ni d'autre relation que celle d'identité.

147. Nous avons vu qu'en introduisant dans le calcul des quantités indéfiniment petites et en les négligeant par comparaison aux quantités finies, les équations devenaient imparfaites, et que les erreurs auxquelles on donnait lieu ne se compensaient que dans le résultat cherché. On peut maintenant éviter, si l'on veut, cette espèce d'inconvénient, par le moyen des évanouissantes, qui, n'étant autre chose que les dernières valeurs des quan-

]5o CHAPITRE III.

tités indéfiniment petites correspondantes, peuvent, comme toutes les autres valeurs, être attribuées à ces quantités indéfiniment petites, et qui, d'un autre côté, étant absolument nulles, peuvent se négliger lorsqu'elles se trouvent ajoutées à quelques quantités effectives, sans que le calcul cesse d'être parfaitement rigou-

reux.

148. On peut donc envisager l'Analyse infinitésimale sous deux points de vue différents : en considérant les quantités infiniment petites ou comme des quantités effectives, ou comme des quantités absolument nulles. Dans le premier cas, l'Analyse infinitésimale n'est autre chose qu'un calcul d'erreurs compensées ; et dans le second, c'est l'art de comparer des quantités évanouissantes entre elles et avec d'autres, pour tirer de ces comparaisons les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées.

Comme égales à zéro, ces quantités évanouissantes doivent se négliger dans le calcul, lorsqu'elles se trouvent ajoutées à quelque quantité effective ou qu'elles en sont retranchées; mais elles n'en ont pas moins, comme on vient de le voir, des rapports très intéressants à connaître, rapports qui sont déterminés par la loi de continuité à laquelle est assujetti le système des quantités auxiliaires dans son changement. Or, pour saisir aisément cette loi de continuité, il est aisé de sentir que l'on est obligé de considérer les quantités en question à quelque distance du terme où elles s'évanouissent entièrement, sinon elles n'offriraient que le rapport indéfini de zéro à zéro ; mais cette distance est arbitraire et n'a d'autre objet que de faire juger plus facilement des rapports qui existent entre ces quantités évanouissantes : ce sont ces rapports qu'on a en vue en regardant les

CALCUL DES EVANOUISSANTES.

IDI

quanlltés infiniment petites comme absolument nulles, et non pas ceux qui existent entre les quantités qui ne sont pas encore parvenues au terme de leur anéantissement. Celles-ci, que j'ai woramées indéfiniment petites y ne sont point destinées à entrer elles-mêmes dans le calcul envisagé sous le point de vue dont il s'agit dans ce moment, mais employées seulement pour aider l'imagination et indiquer la loi de continuité qui détermine les rapports et les relations quelconques des quantités évanouissantes auxquelles elles répondent.

Ainsi, d'après cette hypothèse, dans la proportion MZ : RZ : : TP : MP {fig. i ), les quantités représentées parMZ et RZ sont bien supposées absolument égales a zéro ; mais, comme c'est de leur rapport qu'on a besoin,

TP

il faut, pour apercevoir son égalité avec t— » considérer

les quantités indéfiniment petites qui répondent à ces quantités nulles, non afin de les introduire elles-mêmes dans le calcul, mais afin d'y faire entrer, sous la dénomination de MZ et de RZ, les quantités évanouissantes qui en sont les dernières valeurs.

149. Ces expressions MZ, RZ représentent donc ici des quantités nulles, et on ne les emploie sous les formes MZ, RZ, plutôt que sous la forme commune o, que parce que, si on les employait en effet sous cette dernière forme, on ne pourrait plus distinguer, dans les opérations où elles se trouveraient mêlées, leurs diverses origines, c'est-à-dire quelles sont les diverses quantités indéfiniment petites qui leur répondent. Or, la considération, au moins mentale, de celles-ci est nécessaire pour saisir la loi de continuité qui détermine le rapport cherché des quantités évanouissantes qu'elles ont pour limites, et par conséquent il est essentiel de ne pas les perdre de

IJa CHAPITRE 111.

vue el de les caraclériser par des expressions qui empêchent de les confondre.

150. Les quantités évanouissantes qui font le sujet du Calcul infinitésimal envisagé sous ce nouveau point de vue sont, à la vérité, des êtres de raison ; mais cela n'empêche pas qu'elles n'aient des propriétés mathématiques et qu'on ne puisse les comparer tput aussi hien que l'on compare des quantités imaginaires qui n'existent pas davantage. Or, personne ne révoque en doute l'exactitude des résultats qu'on obtient par le calcul des imaginaires, quoiqu'elles ne soient que des formes algébriques et des hiéroglyphes de quantités absurdes ; à plus forte raison ne peut-on donner l'exclusion aux quantités évanouissantes, qui sont au moins des limites de quantités effectives et touchent pour ainsi dire à l'existence. Qu'importe, en effet, que ces quantités soient ou non des êtres chimériques, si leurs rapports ne le sont pas, et que ces rapports soient la seule chose qui nous intéresse? On est donc entièrement maître,^ en soumettant au calcul les quantités que nous avons nommées infinitésimales, de regarder ces quantités comme effectives ou comme absolument nulles ; et la différence qui se trouve entre ces deux manières d'envisager la question consiste en ce que, en regardant ces quantités comme nulles, les propositions , équations et résultats quelconques demeurent exacts et rigoureux pendant tout le calcul, mais se rapportent à des quantités qui sont des êtres de raison, et expriment des relations existantes entre quantités qui n'existent pas elles-mêmes ; au lieu que^ en regardant les quantités infiniment petites comme quelque chose d'effectif, les propositions, équations et résultats quelconques ont bien pour sujet de véritables quantités ; mais ces propositions, équations et résultats

CALCUL DES ÉVANOUISSANTES. l53

sont faux, ou plutôt ils sont imparfaits, et ne deviennent exacts à la fin que par la compensation de leurs erreurs, compensation cependant qui est une suite nécessaire et infaillible des opérations du calcul.

151. La métaphysique qui vient d'être exposée fournit aisément des réponses à toutes les objections qui ont été faites contre l'Analyse infinitésimale, dont plusieurs géomètres ont cru le principe fautif et capable d'induire en erreur ; mais ils ont été accablés, si l'on peut s'exprimer ainsi, par la multitude des prodiges et par l'éclat des vérités qui sortaient en foule de ce principe.

Ces objections peuvent se réduire à celle-ci : Ou les quantités qu'on nomme infiniment petites sont absolument nulles ou non, car il est ridicule de supposer qu'il existe des êtres qui tiennent le milieu entre la quantité et le zéro. Or, si elles sont absolument nulles, leur comparaison ne mène à rien, puisque le rapport de o à o n'est pas plus a que £, ou toute autre quantité quelconque ; et si elles sont des quantités effectives, on ne peut sans erreur les traiter comme nulles, ainsi que le prescrivent les règles de l'Analyse infinitésimale.

La réponse est simple : bien loin de ne pouvoir en efiet considérer les quantités infiniment petites, ni comme quelque chose de réel, ni comme rien, on peut dire, au contraire, qu'on peut à volonté les regarder comme nulles ou comme de véritables quantités ; car ceux qui voudront les regarder comme nulles peuvent répondre que ce qu'ils nomment quantités infiniment petites ne sont point des quantités nulles quelconques, mais des quantités nulles assignées par une loi de continuité qui en détermine la relation ; que parmi tous les rapports dont ces quantités sont susceptibles comme zéro, ils ne

l54 CHAPITRE III.

considèrenl que ceux qui sont déterminés par cette loi de continuité ; et qu'enfin ces rapports ne sont point vagues et arbitraires, puisque cette loi de continuité n'assigne point, par exemple, plusieurs rapports différents aux différentielles de l'abscisse et de l'ordonnée d'une courbe lorsque ces différentielles s'évanouissent, mais un seul, qui est celui de la sous-tangente à l'ordonnée. D'un autre côté, ceux qui regardent les quantités infiniment petites comme de véritables quantités peuvent répondre que ce qu'ils appellent infiniment petit n'est qu'une grandeur arbitraire et susceptible d'être supposée aussi petite qu'on le veut, sans rien changer aux quantités proposées ; que dès lors, sans la supposer nulle, on peut cependant la traiter comme telle, sans qu'il s'ensuive aucune erreur dans le résultat, puisque cette erreur, si elle avait lieu, serait arbitraire comme la quantité qui l'aurait occasionnée. Or, il est évident qu'une pareille erreur ne peut exister qu'entre des quantités dont quelqu'une au moins soit arbitraire. Donc, lorsqu'on est parvenu à un résultat qui n'en contient plus et qui exprime une relation quelconque entre les quantités données et celles qui sont déterminées par les conditions du problème, on peut assurer que ce résultat est exact, et que, par conséquent, les erreurs qui auraient dû être commises en exprimant ces cAiditions ont pu se compenser et disparaître par une suite nécessaire et infaillible des opérations du calcul.

152. D'autres géomètres, embarrassés apparemment par l'objection qu'on vient de discuter, se sont attachés simplement à prouver que la méthode des limites, dont les procédés sont rigoureusement exacts dans tous les points, devait nécessairement conduire aux mêmes résultats que l'Analyse infinitésimale. Mais, en convenant

THÉORIE DES FOXOTlOiNS, l55

que le principe de celte méthode est très lumineux, on ne peut se dissimuler qu'ils ne font qu'éluder la difficulté sfins la résoudre ; que la méthode des limites ne mène aux résultats de l'Analyse infinitésimale que par une route difficile et détournée ; et qu'enfin cette méthode, loin d'être la même que celle du calcul de l'infini, n'est, au contraire, que l'art de s'en passer et d'y suppléer par le calcul algébrique ordinaire : en quoi l'on réussirait d'une manière plus simple, à ce qu'il me semble, par la méthode des indéterminées.

153. Il suit de ce que nous venons de dire qu'on peut à volonté considérer les quantités infiniment petites ou comme absolument nulles ou comme de véritables quantités ; un motif cependant me ferait préférer cette dernière manière d'envisager l'Analyse infinitésimale : c'est que ceux qui la considèrent ainsi me semblent traiter la question d'une manière plus générale que les autres. Car ceux-ci, en attribuant aux quantités infiniment petites la valeur o, font une opération inutile : ils paraissent regarder cette détermination comme nécessaire et penser que sans elle ils ne pourraient obtenir ce qu'ils cherchent; or c'est ce qui n'est pas, puisque ces quantités peuvent toutes s'éliminer sans conditions, c'ést-à-dire sans qu'on leur attribue aucune valeur déterminée, et pas plus celle qui est o qu'aucune autre. La question paraît donc résolue d'une manière générale lorsqu'on laisse dans l'indétermination des quantités qu'on n'est pas obligé de déterminer.

DE LA THÉOniE DES FONCTlOIfS ANALYTIQUES OU FONCTIONS