DÉRIVÉES

154. Aucune des méthodes pratiquées ou proposées jusqu'à ce jour pour suppléer à la méthode d'exhaustion

l56 CHAPITRE III.

des anciens et pour la réduire en algorithme régulier n'a paru à Lagrange réunir au degré désirable l'exactitude et la simplicité requises dans les sciences mathématiques. Il a pensé néanmoins qu'il n'était pas impossible d'atteindre ce but important, et ses recherches à cet égard nous ont valu le grand Ouvrage qu'il a publié sous le titre de Tliéorie des fonctions analytiques, contenant les principes du Calcul diflérentiel, dégagés de toute considération d' infiniment petits, d'évanouissants, de limites et de fluxions, et réduits à l' analyse algébrique des quantités finies , Lagrange a de plus donné, sur le même sujet, un autre Ouvrage considérable, intitulé Leçons sur le calcul des fonctions, lequel est un commentaire et un supplément pour le premier.

Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond auquel nous devions déjà le Calcul des "variations et la Mécanique analytique; mais, comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n'en dirai ici qu'un mot.

Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l'exactitude rigoureuse dont il s'est fait la loi de ne jamais s'écarter, Lagrange, qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. En conséquence, il ne néglige aucun terme et prend ses différentielles comme on le fait dans le calcul aux différences finies. C'est à quoi il parvient par le théorème de Taylor, dont il fait ]a base de sa doctrine, et qu'il démontre directement par l'analyse ordinaire, tandis qu'avant lui on ne l'avait encore démontré que par le secours même du Calcul différentiel.

L'auteur parvient ainsi à exprimer, par des équations

THÉORIE DES FONCTIOXS. l5y

rigoureusement exactes, les conditions de toute question proposée. Ces équations paraissent sans doute devoir être plus difficiles à établir et plus compliquées que celles qu'on obtient par les procédés ordinaires de l'Analyse infinitésimale, c'est-à-dire lorsqu'on se permet de négliger les quantités infiniment petites vis-à-vis des quantités finies. Mais, comme les unes et les autres de ces équations ne peuvent jamais conduire qu'aux mêmes résultats, on sent qu'il doit nécessairement exister pour les premières des moyens de simplification qui les ramènent aux autres. C'est ce qui a lieu en effet : l'auteur, par une suite de transformations ingénieuses, parvient à dégager son calcul de tout ce qui l'embarrassait inutilement. C'est ainsi que ces équations reviennent d'elles-mêmes, et sans qu'on soit obligé de rien négliger dans le cours des opérations, à la simplicité de celles qu'on aurait pu obtenir immédiatement par les procédés ordinaires de l'Analyse infinitésimale.

155. Quoique Lagrange prenne ses différentielles comme si c'était des différences finies, elles ont un caractère qui les distingue essentiellement de celles-ci : c'est qu'elles demeurent toujours indéterminées , de sorte qu'on reste maître, pendant tout le cours du calcul, de les rendre aussi petites qu'on le veut, sans rien changer à la valeur des quantités dont on cherche la relation, ce qui fournit des moyens d'élimination qui n'appartiennent point au calcul ordinaire des différences finies, dans lequel ces différences sont fixes.

156. Il est facile de remarquer l'analogie qui existé entre la théorie des fonctions analytiques, celle du Calcul infinitésimal ordinaire et la méthode des indéterminées dont nous avons parlé (119). En effet, les diffé-

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rences prises sans rien négliger, comme on le fait dans la théorie des fonctions analytiques, par la formule de Taylor, sont des séries. Or, comme Tobserve Lagrange lui-même, tous les problèmes dont la solution exige le Calcul différentiel dépendent uniquement du premier terme de chacune de ces séries, et toutes les méthodes n'ont d'autre but que de détacher et d'isoler, pour ainsi dire, ce premier terme du reste de la série. Le Calcul différentiel ordinaire remplit immédiatement son objet, en négligeant, dès le premier moment, tous les autres, comme s'ils étaient nuls ; dans la méthode des indéterminées, on les sous-entend seulement comme devant nécessairement se détruire les uns par les autres dans le résultat du calcul; dans la théorie des fonctions enfin, on les fait réellement entrer dans l'expression des conditions du problème, et on les dégage ensuite par diverses transformations fondées sur ce que tous ces termes ont pour facteur commun un accroissement de variable qu'on est maître, de supposer aussi petit qu'on le veut, tandis que le premier terme de la série en est indépendant, ce qui rentre évidemment dans la méthode des indéterminées, par laquelle on est conduit à des équations dont chacun des termes pris séparément est égal à zéro.

157. Le véritable obstacle à l'adoption d'une méthode aussi lumineuse est la nouveauté de l'algorithme pour lequel il faudrait abandonner celui qu'une longue habitude a consacré et d'après lequel sont rédigés tous les Ouvrages originaux qui ont paru depuis un siècle; ainsi, par exemple, il faudrait refondre toutes les collections académiques, tous les écrits d'Euler et ceux de Lagrange lui-même. Cette pensée était la sienne lorsqu'il publia la nouvelle édition de sa Mécanique ana-

THÉORIE DES FONCTIONS. iSg

lytique; il n'y emploie point son algorithme, et voici comment il s'exprime à ce sujet, dans l'averti ssement qu'il a mis à la tête de ce dernier Ouvrage ;

« On a conservé la notation ordinaire du Calcul différentiel, parce qu'elle répond au système des infiniment petits adopté dans ce Traité. Lorsqu'on a bien conçu l'esprit de ce système et qu'on s'est convaincu de l'exactitude de ses résultats par la méthode géométrique des premières et dernières raisons ou par la méthode analytique des fonctions dérivées, on peut employer les infiniment petits comme un instrument sûr et commode pour abréger et simplifier les démonstrations. »

1S8. Depuis quelques années, John Landen, savant géomètre anglais, avait tenté, non sans succès, de ramener le Calcul infinitésimal à l'Algèbre ordinaire. Lagi^ange, qui se plaisait à faire ressortir le mérite des autres, parce qu'il se sentait assez riche de ses propres découvertes, cite honorablement John Landen, et voici comment il s'exprime à ce sujet :

« C'est pour, prévenir ces difficultés qu'un habile géomètre anglais, qui a fait dans l'Analyse des découvertes importantes, a proposé dans ces derniers temps de substituer à la méthode des fluxions, jusqu'alors suivie scrupuleusement par tous les géomètres anglais, une autre méthode purement analytique et analogue à la méthode différentielle, mais dans laquelle, au lieu de n'employer que les différences infiniment petites ou nulles des quantités variables, on emploie d'abord les valeurs différentes de ces quantités, qu'on égale en* suite après avoir fait disparaître par la division le facteur que cette égalité rendait nul. Par ce moyen, on évite à la vérité les infiniment petits et les quantités

l6o CHAPITRE m.

évanouissantes, mais les procédés et les applications du calcul sont embarrassants et peu naturels, et l'on doit convenir que cette manière de rendre le calcul plus rigoureux dans ses principes lui fait perdre ses principaux avantages, la simplicité de la méthode et la facilité des opérations. »

La théorie des fonctions analytiques n*est peut-être pas elle-même exemple d'une partie de ces inconvénients ; c'est à ceux qui ont acquis l'habitude de s'en servir qu'il appartient d'en juger.

COKCLUSIOM GÉNÉRALE.

159. Les diverses méthodes dont nous avons donné l'idée dans cet écrit ne sont, à proprement parler, qu'une seule et même méthode présentée sous divers points de vue. C'est toujours la méthode d'exhaustion des anciens, plus ou moins simplifiée, plus ou moins heureusement appropriée aux besoins du calcul, et enfin réduite en un algorithme régulier.

Mais cet algorithme est d'une haute importance ; il est pour la méthode d'exhaustion ce qu'est l'Algèbre ordinaire pour la pure synthèse ; les anciens ne connaissaient que la synthèse et la méthode d'exhaustion, qui n'est elle-même qu'une branche de la synthèse : les modernes, en imaginant l'Algèbre ordinaire et l'algorithme infinitésimal, se sont procuré des avantages immenses. C'est un instrument avec lequel ils abrègent et facilitent le travail de l'esprit, en le réduisant, pour ainsi dire, en travail mécanique. Les symboles algébriques ne sont pas seulement ce qu'est l'écriture à la pensée, un moyen de la peindre et de la fixer ; ils réagissent sur la pensée même, ils la dirigent jusqu'à un certain point, et il suffit de les déplacer sur le papier, suivant certaines règles

CONCLUSION GÉNÉRALE. l6l

fort Simples, pour arriver infailliblement à de nouvelles vérités.

160. Les symboles algébriques font plus : ils introduisent dans les combinaisons des formes purement imaginaires, des êtres fictifs qui ne peuvent exister ni même être compris, et qui cependant n'en sont pas moins utiles. On les emploie auxiliaîrement comme termes de comparaison, pour faciliter le rapprochement des véritables quantités dont on veut obtenir la relation, et on les élimine ensuite par des transformations qui ne sont ellesmêmes, pour ainsi dire, que Touvrage de la main.

Cet admirable instrument des sciences exactes n'a pu être que le produit des recherches accumulées des plus profonds génies et peut-être de quelque hasard heureux. Mais il ne faut pas perdre de vue que ce n'est qu'un itistrument fait pour seconder les efforts de l'imagination et non pour en détendre les ressorts ; c'est toujours un moyen indirect inventé pour suppléer à la faiblesse de notre esprit; on ne doit l'employer qu'à regret et pour vaincre les difficultés ou généraliser les questions, et c'est un abus que d'y recourir sans aucun besoin, comme dans les premiers éléments des sciences, où il cause plus d'embarras qu'il ne jette de véritables lumières.

161 . Bien loin d'employer l'Analj^se à établir les vérités élémentaires, nous devons les dégager de tout ce qui nous empêche de les apercevoir le plus distinctement possible et de reconnaître le chemin qui y conduit. Ceux qui réussissent à nous faire voir presque intuitivement des résultats auxquels on n'était parvenu avant eux que par le secours d'une analyse compliquée ne nous procurent-ils pas toujours autant de plaisir que de surprise, pourvu que ce ne soit jamais que d'une manière simple et sans augmenter les difficultés 7