C. — Mélaph^s. ' ï

B6a CHAPITRE III.

162. Les principes de TÂlgèbre ordinaire sont beaucoup moins clairs et moins bien établis que ceux de l'Analyse infinitésimale, en ce qui distingue celle-ci de la première (*); la métaphysique de la règle des signes, lorsqu'on veut l'approfondir, est bien autrement difficile que celle des quantités infiniment petites : jamais cette règle n'a été démontrée d'une manière satisfaisante ; elle ne paraît pas même susceptible de l'être, et cependant elle sert de base à toute l'Algèbre : que gagne-t-on donc à substituer celle-ci à l'Analyse infinitésimale, puisque les procédés de la première sont d'ailleurs beaucoup plus compliqués que ceux de la seconde, pour les objets qui sont du ressort naturel de celle-ci ?

Jamais l'expression analytique d'un objet ne peut être aussi nette que la perception immédiate de cet objet luimême : c'est regarder dans un miroir ce qu'on peut \oîr directement. Cette expression analytique peut être embarrassée de formes imaginaires ou indiquer des opérations inexécutables : définir un objet sensible par de semblables expressions, c'est non seulement employer inutilement un moyen indirect, mais c'est représenter une chose claire d'elle-même par un symbole qui l'est beaucoup moins. Je citerai à ce sujet un passage bien remarquable d'Euler, l'analyste par excellence du siècle dernier [Mémoires de V jicadémie de Berliriy année

« Il y a des personnes, dit-il, qui prétendent que la Géométrie et l'Analyse ne demandent pas beaucoup de raisonnements ; ils s'imaginent que les règles que ces sciences nous prescrivent renferment déjà les connais** sances nécessaires pour parvenir à la solution et qu'on

(^) Voiry page 173, la Note qui a été mise à la suîtd de cet OaTrage, parce qu'elle était trop longue pour être placée ici.

CONCLUSION GÉNÉRALE * l63

n'a qu'à exécuter les opérations conformément à ces règles, sans se mettre en peine des raisonnements sur lesquels ces règles sont fondées. Cette opinion, si elle était fondée , serait bien contraire au sentiment presque général, où l'on regarde la Géométrie et l'Analyse comme les moyens les plus propres à cultiver l'esprit et à mettre en exercice la faculté de raisonner. Quoique ces gens aient une teinture des Mathématiques , il faut pourtant qu'ils se soient peu appliqués à la résolution des problèmes un peu difficiles, car ils se seraient bientôt aperçus que la seul eapplication des règles prescrites est d'un bien faible secours pour résoudre ces sortes de problèmes, et qu'il faut auparavant examiner bien sérieusement toutes les circonstances du problème, et faire là-dessus quantité de raisonnements, avant qu'on puisse employer ces règles, qui renferment le reste des raisonnements dont nous ne nous apercevons presque point en poursuivant le calcul. C'est cette préparation, nécessaire avant que de recourir au calcul, qui exige souvent une longue suite de raisonnements, que peut-être aucune autre science n'exige jamais, et où l'on a ce grand avantage, qu'on peut s'assurer de leur justesse, pendant que dans les autres sciences on est souvent obligé de s'arrêter à des raisonnements peu convaincants. Mais aussi le calcul même, quoique l'Analyse en^ prescrive les règles, doit partout être soutenu par un raisonnement solide, au défaut duquel on court risque de se tromper à tout moment* Le géomètre trouve donc partout occasion d'exercer son esprit par des raisonnements qui le doivent conduire dans la solution de tou3 les problèmes difficiles qu'il entreprend, et, à moins qu'il ne soit bien sur ses gardes, il est à craindre qu'il ne tombe sur des solutions fausses. »

r64 CHAPITRE III.

163. La règle doit être, ce me semble, de prendre toujours la voie la plus simple et, à diflGcultés égales, de prendre la plus lumineuse ; aucun moyen ne doit être exclusif. Ainsi, pour en revenir à notre objet, parmi les méthodes dont nous avons parlé, il faut, pour Tusage habituel, choisir celle qui mène en général au but par la route la plus courte et la plus facile, mais sans rejeter aucune des autres, parce que ce sont d'abord en ellesmêmes de belles spéculations pour Tesprit, et ensuite parce qu'il n'y en a pas une peut-être qui ne puisse conduire à quelque vérité jusqu'alors inconnue, ou procurer dans certains cas un résultat inattendu ou une solution plus élégante que loutes les autres.

164. Mais parmi toutes ces méthodes, qui ont leur origine commune dans la méthode d*cxhaustion des anciens, quelle est celle qui offre le plus d'avantages pour l'usage habituel? Il me semble qu'il est généralement convenu que c'est l'analyse leibnitzienne.

Les travaux de Descartes, de Pascal, de Fermât, d'Huygens, de Barrow, de Roberval, deWallis. de Newton surtout, prouvent que l'on touchait depuis longtemps à cette grande découverte lorsqu'elle fut proclamée par Leibnitz, et je pense qu'il n'est aucun de ces illustres géomètres qui ne l'eût faite s'il eût soupçonné qu'il y avait à cet égard une grande découverte à faire , c'est-à-dire qu'il n'y en a pas un d'entre eux qui n'eût trouvé un moyen pour réduire en algorithme la méthode d'exhaustion, si l'idée lui fût venue de la chercher, et qu'il eût prévu toute la fécondité dont pourrait être quelque jour un pareil moyen. Peut-être même que, parmi les divers algorithmes créés par tant de génies originaux, il s'en serait trouvé quelques-uns qui eussent obtenu la préférence sur celui de Leibnitz, que l'habi-

CONCLUSION GÉNÉRALE. lG5

tude a consacré parmi nous, non moins que les précieux et immenses travaux qui sont aujourd'hui revêtus des formes de cet algorithme.

165. « On peut, ditLagrange, regarder Fermât comme le premier inventeur des nouveaux calculs.

» Barrow imagina de substituer aux quantités qui doiventétre supposées nulles, suivant Fermât, des quantités réelles, mais infiniment petites, et il donna, en 1674? sa méthode des tangentes, où il considère la courbe comme un polygone d'une infinité de côtés ; mais ce calcul n'était encore qu'ébauché, car il ne s'appliquait qu'aux expressions rationnelles. ^

» Il restait donc à trouver un algorithme simple et général, applicable à toutes sortes d'expressions, par lequel on pût passer directement et sans aucune réduction des formules algébriques à leurs difi'érentielles. C'est ce que Leibnitz a donné dix ans après. Il paraît que Newton était parvenu, dans le même temps ou un peu auparavant, aux mêmes abrégés de calcul pour les différentiations. Mais c'est dans la formation des équations différentielles et dans leur intégration que consistent le grand mérite et la force principale des nouveaux calculs, et sur ce point il me semble que la gloire de l'invention est presque uniquement due à Leibnitz, et surtout aux Bernoulli. »

166. Il paraîtrait bien difficile maintenant de quitter la route qui nous a été ouverte par ces illustres géomètres, de se rompre à une nouvelle manière de voir, à une nouvelle notation, à de nouvelles locutions. Lagrange lui-même reconnaît, comme nous Tavonsdéjàdit (157), qu,e la méthode infinitésimale, telle qu'on l'emploie aujourd'hui, est un moyen sûr d'abréviation et de simplification, et il a cru devoir Tadopler dans la nouvelle

l6Ù CUAPITRI! m.

édition de sa Mécanique analytique, de préférence à celle qu'il venait de proposer lui-même dans sa Tliéorie des fondions analytiques. Il est donc à présumer qu'il n'a considéré ce dernier Ouvrage que comme un 45adre propre à rassembler sous un même point de vue une multitude d'artifices analytiques qu'il avait découverts dans le cours de ses travaux, et afin d'avoir une occasion de développer méthodiquement les prodigieuses ressources de son génie pour le calcul.

167. J'ai ouï dire plusieurs fois à ce profond penseur que le véritable secret de l'Analyse consistait dans l'art de saisir les divers degrés d'indétermination dont la quantité est susceptible : idée dont je fus toujours pénétré et qui m'a fait regarder la méthode des indéterminées de Descartes comme le plus important des corollaires de la méthode d'exhaustion.

En effet, dans toutes les branches de l'Analyse prise généralement, nous voyons que ses procédés sont toujours fondés sur les divers degrés d'indétermination des quantités qu'elle compare. Un nombre abstrait est moins déterminé qu'un nombre concret, parce que celui-ci spécifie non seulement le combien du nombre, mais encore la qualité de l'objet soumis au calcul ; les quantités algébriques sont plus indéterminées que les nombres abstraits, parce qu'elles ne spécifient pas même le combien : parmi ces dernières, les variables sont plus indéterminées que les constantes, parce que celles-ci sont considérées comme fixes pendant une plus longue période de calcul; les quantités infinitésimales sont plus indéterminées que les simples variables , parce qu'elles demeurent encore susceptibles de mutation ^ lors même qu'on est déjà convenu de considérer les autres comme fixes ; enfin les variations sont plus indé-

CONCLUSION GKNKRALE. 167

terminées que les simples différentielles, parce que celles-ci sont assujetti es à varier suivant une loi donnée, au lieu que la loi suivant laquelle on fait changer les autres est arbitraire. Rien ne termine cette échelle des divers degrés d'indétermination, et c'est précisément dans cet assemblage de quantités plus ou moins définies, plus ou moins arbitraires, qu'est le principe fécond de la méthode générale des indéterminées, dont le Calcul infinitésimal n'est véritablement qu'une heureuse application.

Ces quantités, qui d'une part sont liées à l'étal de la question, tandis que de l'autre on demeure libre de leur attribuer des valeurs plus ou moins grandes, ces quantités, dis-je, qui sont en quelque sorte semi-arbitraires, nous font sentir la nécessité de la distinction que nous avons établie entre les quantités désignées et les quantités non désignées, distinction qui n'est pas la même que celle qui existe entre les constantes et les variables, car les quantités désignées comprennent les constantes et les variables dont on cherche la relation ou qui sont des fonctions exclusives, c*est-à-dire toutes celles qui peuvent entrer dans le résultat du calcul, tandis que les quanti tés non désignées en sont nécessairement exclues. Celles-ci ne peuvent donc entrer que comme auxiliaires; elles ne servent qu'à rendre plus facile l'expression des conditions du problème, après quoi tous les soins du calculateur doivent se diriger vers leur élimination, qui est indispensable dans tous les cas, et qui annonce toujours, quand elle est faite, que ce calcul perd dès lors son premier caractère de Calcul infinitésimal pour rentrer dans le domaine de l'Algèbre ordinaire.

168. La méthode des limites ou des premières et dernières raisons ne dispense point de la distinction, au

l68 CHAPITRE III.

moins tacite, de ces quantités désignées et non désignées, car la limite d'une quantité n'est autre chose que le terme dont cette autre quantité est supposée s'approcher continuellement, jusqu'à en différer aussi peu qu'on le veut. Cette limite est donc considérée comme fixe, et par conséquent comme une quantité désignée, tandis que l'autre, pouvant s'approcher de cette limite autant qu'on le veut, reste toujours arbitraire ou non désignée, et ne peut entrer dans le résultat du calcul.

169. On voit par là que l'expression de limite n'est ni plus ni moins difficile à définir exactement que celle de quantité infiniment petite, et que, par conséquent, c'est une erreur de croire que la méthode des limites soit plus rigoureuse que celle de l'Analyse infinitésimale ordinaire ; car, pour procéder en rigueur par la méthode des limites, il faut préalablement définir ce que c'est qu'une limite ; or la différence d'une quantité quelconque à sa limite est précisément ce qu'on nomme ou ce qu'on doit nommer une quantité infiniment petite. L'une n'est donc pas plus difficile à comprendre que l'autre, et si la méthode des limites est exacte, comme on ne saurait en douter, il n'y a aucune raison pour que l'Analyse infinitésimale ne le soit pas.

170. Mais celle-ci a sur la première de très grands avantages : c'est que, dans la méthode des limites, on ne se permet point de faire entrer séparément dans le calcul ces quantités semi-arbitraires que nous appelons quantités non désignées ; on n'y admet pas même leurs rapports, mais seulement les limites de ces rapports, lesquelles sont des quantités désignées. Par là on est privé des moyens de combinaison et de transformation que procure à l'Analyse infinitésimale la faculté qu'elle