CONCLUSION GÉNÉRALE

se donne, et qu'elle démontre avoir le droit de se donner, d'opérer isolément sur ces quantités auxiliaires, faculté qui constitue l'un des principaux avantages de son algorithme. L'Analyse infinitésimale est donc un perfectionnement delà méthode des limites; c'est un usage plus étendu, plus hardi de la première, et qui n'en est ni moins exact ni moins lumineux.

171. Au reste, ce n'est pas dans l'exposé même des principes que peut se faire sentir l'avantage de la méthode infinitésimale sur toutes les autres. Toutes sont à peu près également claires dans leurs principes ; mais il n'est pas également facile de les appliquer à des questions particulières. La principale difficulté est alors de mettre les problèmes en équation, ce qui, au contraire, est généralement très-facile dans la méthode infinitésimale, parce que, dès qu'on se refuse à admettre franchement dans le calcul l'espèce de quantités que nous avons nommées infiniment petites, les moyens de comparaison se trouvent restreints; on est obligé de prendre des détours pour arriver au même but, et cette difficulté se fait bien moins sentir encore dans les phrases algébriques et dans les opérations quelconques que dans les propositions ou raisonnements qui les préparent ou qui suppléent à ces opérations. Un exemple suffira pour faire sentir à cet égard la supériorité de la méthode infinitésimale.

Proposons-nous d'énoncer le fameux principe des vitesses virtuelles. Le voici, d'après Lagrange, dans sa Mécanique analytique :

« Si un système quelconque de tant de corps ou points que l'on veut, tirés chacun par des puissances quelconques, est en équilibre, et qu'on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque

point parcourt un espace infiniment petit ifui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissances multipliées chacune par l'espace que le point où elle est appliquée parcourt suii^ant la direction de cette même puissance sera égale à zéro, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus dans le sens des puissances et comme négatifs les espaces parcourus dans un sens opposé. »

Maintenant je demande comment ceux qui rejettent les expressions admises dans le Calcul infinitésimal pourront énoncer cette proposition aussi clairement que nous venons de le faire d'après le célèbre auteur de la Mécanique analytique? Or toutes les Mathématiques ne sont, à proprement parler, qu'une suite de locutions semblables ; ce serait donc se jeter dans des longueurs et des difficultés inextricables que de les abandonner : il faudrait y pour s'y déterminer, qu'on pût craindre quelques erreurs dans les résultats. Or tout le monde convient que la méthode est infaillible dans ses résultats.

172. Il faut remarquer que, dans les recherches mathématiques ^ c'est naturellement sur les quantités appelées infiniment petites elles-mêmes que se fixe l'imagination, et non sur les limites de leurs rapports. Si l'on me demande le volume d'un corps terminé par une surface courbe, j'imagine réellement ce volume partagé en un grand nombre de tranches ou même de particules. Ce sont bien ces tranches ou ces particules elles-mêmes que je considère, et non les divers rapports qu'elles peuvent avoir entre elles, et encore moins les limites de ces rapports. Mon imagination cherche un objet sensible; des formes purement algébriques ne lui offriraient rien que de vague. La division du volume en tranches ou particules m'offre un tableau, éclaire mon esprit, le

CONCLUSION GËXÉRALi:. I7I

guide, et facilite la solution. Je regarde F une de ces particules comme Télément de la quantité totale, que je considère en effet comme la somme de tous ces éléments : je cherche donc l'expression différentielle qui doit représenter cette particule, en négligeant ce que les règles du calcul m'autorisent à omettre. J'applique alors à cette expression différentielle les formules connues du Calcul intégral, et c'est ainsi que je parviens sans beaucoup de peine à résoudre tel problème qui aurait peutêtre résisté à tous les efforts de la méthode d'exhaustion ou de toute awtre dans laquelle on ne pourrait faire usage des moyens d'abréviation et de simplification que fournit la méthode infinitésimale.

173. Il est permis de considérer les quantités infiniment petites, ou comme de véritables quantités, ou comme absolument nulles; mais l'imagination s'accommode encore mieux, ce me semble, de la méthode qui considère les objets comme effectifs que de celle qui les regarde comme réduits à zéro. La loi de continuité même, qui seule peut fixer dans chaque cas la valeur de

chacune des fractions -» lesquelles sans cela resteraient

indéterminées, oblige à les comparer avant qu'elles s'évanouissent entièrement. D'ailleurs, toutes ces quantités doivent être éliminées et peuvent l'être sans leur attribuer aucune valeur déterminée : c'est donc au moins une chose superflue que "de les supposer égales à zéro ; c'est particulariser la question quand on peut s'en dispenser, et, par conséquent, c'est la résoudre d'une manière moins élégante.

174. Le mérite essentiel, le sublime, on peut le dire, de la méthode infinitésimale, est de réunir la facilité des

17a CHAPITRE III.

procédés ordinaires d'un simple calcul d'approximation à Texactilude des résultats de l'Analj'se ordinaire. Cet avantage immense serait perdu, ou du moins fort diminué, si à cette méthode pure et simple , telle que nous Ta donnée Leibnitz, on voulait, sous l'apparence d'une plus grande rigueur soutenue dans tout le cours du calcul, en substituer d'autres moins naturelles, moins commodes, moins conformes à la marche probable des inventeurs. Si cette méthode est exacte dans les résultats, comme personne n'en doute aujourd'hui, si c'est toujours à elle qu'il faut en revenir dans les questions difficiles, comm« il paraît encore que tout le monde en convient, pourquoi recourir à des moyens détournés et compliqués pour la suppléer? Pourquoi se contenter de l'appuyer sur des inductions et sur la conformité de ses résultats avec ceux que fournissent les autres méthodes, lorsqu'on peut la démontrer directement et généralement^ plus facilement peut-être qu'aucune de ces méthodes elles-mêmes? Les objections que l'on a faites contre elle portent toutes sur cette fausse supposition, que les erreurs commises dans le cours du calcul en y négligeant les quantités infiniment petites sont demeurées dans le résultat de ce calcul, quelque petites qu'on les suppose; or c'est ce qui n'est point : l'élimination les emporte toutes nécessairement, et il est singulier qu'on n'ait pas aperçu d'abord dans cette condition indispensable de l'élimination le véritable caractère des quantités infinitésimales et la réponse dirimante à toutes les objections.

NOTE REUTHl AU r 162.

1 . Il y a une analogie remarquable entre la théorie des quantités négatives isolées et celle des quantités infinitésimales, en ce que les unes et les autres ne sauraient jamais être employées qu'auxiliairement , et qu'elles doivent nécessairement disparaître des résultats du calcul pour que ces résultats deviennent parfaitement exacts et intelligibles ; jusqu'alors ce ne sont que des formes algébriques plus ou moins implicites, et qui ne sont susceptibles d'aucune application immédiate.

2. Il paraît beaucoup plus difficile d'expliquer nettement ce qu'est une quantité négative isolée que de comprendre ce qu'est une quantité infinitésimale, car celle-ci, comme on l'a vu, est une quantité effective, au lieu que l'autre est un être de raison, puisqu'on ne pourrait l'obtenir que par une opération inexécutable.

3. Avancer, qu'une quantité négative isolée est moindre que zéro, c'est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l'évidence, d'un nuage impénétrable, et s'engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres ; dire que ce n'est qu'une quantité opposée aux quantités positives, c'est ne rien dire du tout, parce qu'il faut expliquer ensuite ce que c'est que ces quantités opposées, recourir

pour cette explication à de nouvelles idées premières semblables à celles de la matière, du temps et de l'espace, c'est déclarer qu'on regarde la difficulté comme insoluble et c'est en faire naître de nouvelles, car, si l'on me donne pour exemple de quantités opposées un mouvement vers l'orient et un mouvement vers l'occident, ou un mouvement vers le nord et un mouvement vers le sud, je demanderai ce que c'est qu'un mouvement vers le nordest, vers le nord-ouest, vers le sud-sud-ouest, etc., et de quels signes ces quantités devront être affectées dans le calcul.

La ressource des idées premières est sans doute commode pour éluder les difficultés, mais elle est peu philosophique lorsqu'elle n'est pas indispensable. La métaphysique des sciences peut ne pas contribuer beaucoup au progrès des méthodes, mais il y a des personnes qui s'en font une étude favorite, et c'est pour elles que j'ai composé cet Opuscule. On pourrait également renvoyer la notion de l'infini mathématique aux idées premières, et les calculs fondés sur cette notion n'en seraient pas moins susceptibles de toutes les applications qu'on en fait. Cependant, dit d'Alembert, « cette métaphysique, dont on a tant écrit, est encore plus importante et peutêtre plus difficile à développer que les règles mêmes de ce calcul » .

Il me semble qu'on peut dire la même chose des quantités négatives isolées, et Ton peut en juger parles discussions dont elles ont été l'objet parmi les plus célèbres géomètres.

4. J'ai développé ailleurs ce qui m'a paru être la véritable théorie de ces sortes de quantités, et cette théorie a reçu un accueil favorable parmi les savants. La- seule objection que je sache y avoir été faite est qu'elle peut

paraître moins simple dans la pratique que celle qui était généralement adoptée. Cet inconvénient, je Tavoue, serait considérable s'il existait; mais, comme je crois que c'est tout le contraire, je vais tâcher de résumer ici cette théorie le plus brièvement possible.