PRINCIPE FONDAMENTAL

5. Toute valeur negatwe trouvée pour une inconnue par la résolution d'une équation exprime, abstraction faite du signe de cette valeur, la différence de deux autres quantités, dont la plus grande a été prise pour la plus petite, et la plus jyetite pour la plus grande, dans V expression des conditions du problème.

Démonstration, — Pour meltre un problème en équations, on commence toujours par procéder comme dans la synthèse, c'est-à-dire que toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement sont considérées comme absolues. Donc, si la solution du problème est possible, et qu'on n'ait point fait de fausses suppositions, on doit aussi trouver pour chaque quantité une valeur absolue. Donc, si au contraire on ne trouve qu'une valeur négative ou imaginaire, on peut déjà conclure qu'il se trouve nécessairement quelque incompatibiité entre les conditions du problème et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi.

Maintenant, pour connaître en quoi consistent ces fausses suppositions qu'on peut avoir faites, je nomme x l'inconnue pour laquelle on a trouvé une valeur négative, et je suppose que cette valeur négative soit — p\ on a donc trouvé a: = — py équation dans laquelle p est une quantité absolue : soit cette quantité absolue ps=zm — 71, met n étant aussi des quantités absolues. Nous aurons^ par conséquent, m^/z; mais, puisqu'au contraire dans

la mise en équation on a considéré x comme une quantité absolue, on a donc aussi supposé que sa valeur — p était une quantité absolue, c'est-à-dire qu'on a regardé — (m — n) ou (n — m) comme une quantité absolue. On a donc supposé n'^m, tandis qu'au contraire on a réellement, comme on l'a vu ci-dessus, m'^n. Donc la fausse supposition qui a été faite consiste en ce que des deux quantités /n, n, dont p est la différence, la plus grande m a été prise pour la plus petite et la plus petite pour la plus grande, et, puisque cette quantité absolue p n'est autre chose que la valeur — p trouvée pour l'inconnue, en faisant abstraction du signe, il s'ensuit que toute "valeur négative, etc, ; ce quil fallait démontrer .

6. On ne peut pas dire précisément que Téquation X z=z — p soit fausse, puisqu'elle exprime exactement les conditions proposées et les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi ; mais ce sont ces conditions ellesmêmes ou ces hypothèses qui, étant contradictoires entre elles, empêchent que le résultat du calcul ne puisse avoir lieu sans modifications. Il s'agit donc de trouver quelles sont les modifications propres à rendre ce résultat explicite sans en altérer l'exactitude, c'est-à-dire propres à le dégager des quantités inintelligibles qu'il contient ou des opérations inexécutables qu'il indique. Or, pour cela, il y a deux corrections à faire : la première consiste à changer le signe de l'inconnue dans les expressions algébriques qui la contiennent, afin que sa valeur dans l'équation finale devienne positive ; la seconde est de faire aux conditions et hypothèses sur lesquelles le calcul est établi un changement analogue, afin que les expressions algébriques se trouvent être toujours exactement la traduction de ces conditions et hypothèses. C'est sur quoi il n'y a pas plus de règles à donner que sur la

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manière de mettre un problème en équations, mais avec un peu d'habitude on aperçoit pour l'ordinaire très facilement quel doit être le résultat de ces modifications, et l'on se borne à faire la correction nécessaire dans la solution indiquée par l'équation finale, sans prendre la peine de recommencer le calcul ; c'est ce qu'on appelle prendre les valeurs négatives en sens contraire des valeurs positives ; ou prendre l'inconnue dans un sens contraire à celui quon lui avhit attribué dans l'expression des conditions du problème. La nouvelle théorie ne change absolument rien à cet égard aux anciens procédés ; elle ne fait qu'en rendre raison et en démontrer l'exactitude.

7. Supposons, par exemple, que, voulant connaître quelle est la valeur d'un gain présumé, on ait représenté ce gain par a:, et qu'on ait trouvé pour équation finale

jr.

tout le monde en conclut, sans hésiter, qu'au lieu d'un gain présumé il y a une perte réelle, qui est égale à p\ mais il s'agit de le démontrer. Or, d'après les principes exposés ci-dessus, voici comment je raisonne.

Puisque x est un gain présumé, si je nomme m la fortune du joueur après l'événement de ce gain et n sa fortune avant l'événement, le problème aura été mis en équation dans Thypothèse qu'on avait

et par conséquent m]>/i ; donc, puisqu'on a trouvé

on a supposé aussi

m — nz=i — p ou n — mz=zp\