Le résultat exact TP = n'a donc été obtenu

a — jc

que par une compensation d'erreurs, et cette compensation peut être rendue plus sensible encore en traitant l'exemple rapporté ci-dessus d'une manière un peu différente, c'est-à-dire en considérant le cercle comme une véritable courbe, et non pas comme un polygone.

Pour cela, par un point R, pris arbitrairement à une distance quelconque du point M, soit menée la ligne RS parallèle à MP, et par les points R et M soit tirée la sécante RT'; nous aurons évidemment

rP:MP::MZ:RZ,

et partant

MZ T'P ou TP-hT'T = MP~-.

IIZ

Cela posé, si nous imaginons que RS se meuve parallèlement à elle-même en s'approchant continuellement de MP, il est visible que le point T' s'approchera en même temps de plus en plus du point T et qu'on pourra par conséquent rendre la ligne T'T aussi petite qu'on voudra sans que la proportion établie ci-dessus cesse d'avoir lieu. Si donc je néglige cette quantité T'T dans l'équation que je viens de trouver, il en résultera à la vérité

MZ

une erreur dans l'équation TP=:MPr-~> à laquelle la

JclZi

première sera alors réduite ; mais cette erreur pourra

être atténuée autant qu'on le voudra en faisant approcher

autant qu'il sera nécessaire RS de MP, c'est-à-dire que

iG CHAPITRE r.

le rapport des deux membres de celle éijua lion différera

aussi peu qu'on voudra du rapporl d'égalité.

T^ 1, MZ ^r-4-RZ

Pareillement nous avons -— - = ' et celte

RZ 2tf — 2.r — MZ

équation est parfaitement exacte quelle que soit la

position du point R, c'est-à-dire quelles que soient les

\aleurs de MZ et de RZ. Mais plus RS approchera de

MP, plus ces lignes MZ et RZ seront petites; et partant,

si on les néglige dans le second membre de cette équation.

l'erreur qui en résultera dans l'équation — — =

RZ a — X à laquelle elle sera réduite alors, pourra, comme la

première, être rendue aussi petite qu'on le jugera à

propos.

Cela étant, sans avoir égard à des erreurs que je serai

toujours maître d'atténuer autant que je le voudrai, je

traite les deux équations

^^ ,,^MZ MZ

TP = MP — r et ■—- =

RZ RZ a

que je viens de trouver comme si elles étaient parfaitement exactes l'une et l'autre ; substituant donc dans la

dernière la valeur de r=r^ tirée de l'autre, j'ai pour résul-

RZ "' '^

tat TP = — - — 1 comme ci-dessus.

Ce résultat est parfaitement juste, puisqu'il est conforme à celui qu'on a obtenu par la comparaison des triangles CPM, MPT, et cependant les équations

^^ MZ MZ r j, > M , , . ,

1 P = 'v-— — et — -- = » d ou il aele tire, sont certai-

•^ RZ RZ a — X

nement fausses toutes deux, puisque la distance de RS à MP n'a point été supposée nulle, ni même très petite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par conséquent de toute nécessité que les erreurs

se soient compensées mutuellement par la comparaison des deux équations erronées.

iO. Voilà donc Je fait des erreurs compensées bien acquis etbien prouvé ; il s'agitmaintenant de l'expliquer, de rechercher le signe auquel on reconnaît que la compensation alieu dans les calculs semblables au précédent, et les mojens de la produire dans chaque cas particulier.

Or il suffit pour cela de remarquer que^ les erreur5

commises dans les équations 1 P =j^ t— et ~- =z=

RZ RZ a—x

pouvant être rendues aussi petites qu'on le veut, celle qui aurait lieu s'il s^en trouvait une dans Féquation ré-

sultan te TP= — ^ pourrait également être rendue

aussi petite qu'on le voudrait, et qu'elle dépendrait de la

distance arbitraire des lignes MP, RS. Orcelan^estpas,

puisque, le point M par où doit passer la tangente étant

donné, il ne se trouve aucune des quantités a, x^ j^ TP

de cette équation qui soit arbitraire; donc il ne peut y

avoir en effet aucune erreur dans cette équation.

Il suit de là que la compensation des erreurs qui se

j , , . mr. MZ MZ r

trouvaient dans les équations lP=j^— - et

RZ RZ « — ^ se manifeste dans le résultat par l'absence des quantités MZ, RZ qui causaient ces erreurs, et que par conséquent, après avoir introduit ces quantités dans le calcul pour faciliter l'expression des conditions du problème, et les avoir traitées dans les équations qui exprimaient ces conditions comme nulles par comparaison aux quantités proposées, afin de simplifier ces équations, il n'y a qu'à éliminer ces mêmes quantités des équations où elles peuvent se trouver encore pour faire disparaître les