DAWS L ESPACE

et les signes de x et de jj sout quelquefois considérées comme les projections coordonnées de la droite OM sur les axes.

H. En résumé, les quantités x et y^ qui servent à définir la position d'un point M dans un plan relativement à deux axes-, peuvent être considérées sous quatre aspects^ elles expriment en grandeur et en direction :

1**. Les distances de l'origine O aux projections coordonnées P, Q, du point M-,

2^. Les distances des projections coordonnées Q , Py au point M ;

3°. Les projections coordonnées de la droite OM sur les deux axes ^

4^. Les deux côtés contigus d'un parallélogramme dont la droite OM est ta diagonale partant du sommet commun.

12. Lorsque les axes Ox, Oy, sont rectangulaires, les coordonnées or, jy du point M dans leur plan sont égales aux distances de ce point aux deux axes. Il existe entre elles et la distance OM , que nous désignerons par m, la relation

qui résulte de chacun des triangles rectangles OMP, OMQ.

3". Position d'un point dans l'espace, exprimée en coordonnées parallèles à trois axes concourants.

13. La position d'un point M dans l'espace s'exprime par un moyen analogue à celui qui vient d'être exposé. On considère comme données trois droites illimitées Ox, Oy, Oz {Jig' 3), qui se coupent en un même point O et ne sont pas situées dans un même plan. Ces droites s'appellent axes coordonnés, et les trois plans qui passent par les axes, prîs^ deux à deux, s'appellent plans de compa/aison ou plans

8 PosiTio» d'uk poimt

coordonnés. Par le point M on imagine menés parallèlement aux plans coordonnés trois plans qui rencontrent les trois axes en P, Q , R. (La figure s'exécute en remarquant que les intersections des six plans forment les arêtes d'un parallélipipède.) Or on voit que, pour exprimer la position du point M, il suffit d'exprimer celle des points P, Q , R , ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune des distances OP, OQ , OR. Ces trois quantités algébriques s' appellent les coordonnées du point M pour le système d'axes dont il s'agit 5 elles sont désignées en général par des lettres italiques correspondantes aux lettres romaines écrites dans la figure sur la partie positive de chaque axe-, le plus souvent ces lettres sont x, j^' z, et les axes s'appellent axes des Xy des y, des z. *

14. Connaissant la longueur et le signe (et par conséquçnt le sens) des trois coordonnées ar, j-, 2, d'un point M par rapport à trois axes donnés, on peut considérer sous deux points de vue la détermination de ce point :

i*^. Les valeurs de a:, 7, z^ déterminent les points P, Q , R , et les trois plans menés par ces points parallèlement aux plans coordonnés ont pour unique point commun le point M.

iP , En considérant les douze arêtes du parallélipipède OM formé par les trois plans coordonnés et par les trois plans qui leur sont parallèles, on voit qu'en partant du point O pour arriver à M, en suivant trois arêtes consécutives de ce parallélipipèdcj on peut y arriver par six chemins différemment situés, mais de même étendue, tous composés de trois chemins rectilignes respectivement parallèles aux trois axes, et ayant les mêmes sens et les mêmes longueurs que les trois coordonnées. Ces six chemins sont (/ïg. 2) OPCM, OPBM, OQCM., OQAM, ORBM, ORAM. On adopte ordinairement le premier, qui se com-