ALGÉBRIQUEMENT

\". ConsidénitioBs préliminaires sur rexpreasion algébrique de la position d'un point sur une ligne donnée.

2. Une ligne droite ou courbe d'une longueur indéfinie étant donnée, ainsi que l'un de ses points O (A^* ^)9 deux choses sont nécessaires et suffisantes pour déterminer la situation d^un point M sur cette ligne : \^ la distance du point O au point M, mesurée suivant la ligue donnée; 2^ le sens dans lequel cette distance doit être portée à partir du point O pour obtenir M.

3. Connaiàsanf. , sur une ligne donnée^ la situation de chacun des points M', M'^, relativement à un point O^ on demande la situation de M'' relativement à M', c'est-à-^ire 1^ la distance de M! à Mf^-^ a** le sens de cette distance à partir de M!.

Pour fixer les idées, distinguons les deux sens dans lesquels on peut parcourir la ligne donnée, en disant que Fun de ces seu» va de gauche à droite et Tautre de droite à gauche.

Soient x' et x" les deux distances OM', OM", supposées à droite de O5 jî" — x' sera la distance cherchée, et, sui* vânt que cette différence sera positive ou négative, le point M'' sera à droite ou à gauche de M'; de sorte que, X désignant la distance cherchée, la formule

répondra aux deux parties de la question, si Ton convient que, suivant que x" — x'^ réduction faite, aura le signe -H ou le signe — , la distance X doit être portée à droite ou à gauche.

SUÏl XJ»E LIGNE. 3

Supposons maintenant M' et M" de différents côtés; soit par exemple M'' à o'",5 à droite, et M' à o™,3 à gauche de O. M" sera à o™,8 à droite de M', et ce cas sera encore compris dans la même formule (i) > si Ton donne le signe — à la valeur particulière de .r ' qui doit être portée à gauche*, ainsi on pose a:"=o"*,5 et x'=: — o™,3 , d'où ^ = o"*,8. Si au contraire c'est M'' qui se trouve à gauche et à o™,5 de O, tandis que M' est à droite et à o"'^ , IVP sera à o"^,8 à gauche de M'; et la formule Jf = x'^ — x* sera d'accord avec ce résultat si l'on fait j?"= — o",5, .r'=o"',3 7 ^^ qu'on interprète suivant la même convention la valeur qu'on obtient ,. X = — o"*, 8 .

Enfin , si les deux points M'^, M' sont à gauche de O, les deux cas qui peuvent se présenter sont encore renfermés dans la formule X = x" — x\ où les valeurs particulières des distances x"^ x\ devront être substituées avec le signe — . Exemples :

Ainsi les six cas possibles que renferme la question proposée sont résolus par une seule formule au moyen de changements de signes correspondants aux changements de sens des distances x'\ x\ X,

A. Cette importante propriété de l'Algèbre appliquée à la Géométrie peut se généraliser dans les termes suivants :

Lorsque la distance cCun point à un autre est susceptible (Tétre portée en deux sens opposés selon les divers cas d'une même question^ il ^ujfit de traiter la question algébriquement dans V hypothèse de F un des deux sens; et les formules ou équations quon obtient cont^iennent à tous les cas possibles^ poun^u que^ dans les applications qiion en fait^ on affecte les valeurs particulières de la

4 POSITION d'un point •

distance dont il s'agit du signe -|- ou du signe — , selon qu^ elles sont portées dans le sens adopté dans la mise en équation ou en sens contraire.

Cette règle très-utile, due à Descartes, ne paraît pas pouvoir être démontrée dans toute sa généralité : nous aurons soin de la vérifier dans les questions où nous en ferons usage.

5. Lorsqu'on définit la position d'un ou de plusieurs points sur une droite illimitée, par les distances de ces points à un autre point considéré comme Vorigine commune des distances, on choisit comme /7052V//^ l'un des deux sens dans les(|uels la droite peut être parcourue, et chacune des distances dont il s'agit, étant affectée d'un signe, -h ou — , selon le sens dans lequel elle doit être portée à partir de l'origine, s'appelle Y abscisse du point auquel elle appartient, relativement à cette origine. Ainsi F abscisse d'un point est une quantité algébrique constituée d*une longueur et d'un signe; et si elle est désignée par x, cette lettre' renferme implicitement deux éléments.

6. D'après celte définition , la formule X= x" — x' établie au n** 5 s'énonce pour tous les cas possibles en disant que V abscisse X d'un point M", relatis^ement à un autre point M', est égale à la différence x" — x' des abscisses des points M." et M', relativement à une même origine quelconque.

De cette formule on tire

c'est-à-dire que P abscisse d^un point M" relatit^ement à une origine O égale r abscisse du même point relatis^ement à une autre origine M', plus V abscisse de cette seconde Origine relativement à la première. Cette proposition, évidente quand les abscisses sont positives, est également vraie dans tous les autres cas.

DANS tJN PLA]N.

2**. Position d'un point dans un plan donné, exprimée en coordonnées

parallèles à deux axes concourants.

7. Voici le moyen le plus fréquemment employé pour définir la position d'un point M sur un plan. On considère comme données dans ce plan deux droites illimitées P' P, Q Q (fiS'^) concourantes, sur chacune desquelles on adopte un sens pour être le sens positif. Ces droites s'appellent axes de comparaison ou axes coordonnés. Leurs parties O^, Oy, qui s'étendent indéfiniment dans le sens positif à partir de l'intersection O, s'appellent les parties positii^es des axes. Cela posé, par le point M on imagine menées parallèlemeni aux axes deux droites MP, MQ, qui les rencontrent en P et Q ; dès lors , pour exprimer la position du point M, il suffit d'exprimer celle des points P et Q , ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune des distances OP, OQ. Ces deux quantités, qu'on pourrait appeler les distances coordonnées du point M, s'appellent simplement les coordonnées du point M, et sont désignées d'une manière générale par des lettres italiques correspondantes aux lettres romaines écrites dans la figure sur la partie positive de chaque axe.

Ainsi, pour le point M , situé dans l'angle xOy que forment les parties positives des axes , on a

X == H- longueur ÔP, y = -+- longueur OQ ,

pour le point M', situé dans l'angle P'Oy de la portion négative de l'axe Ox et de la portion positive de l'axe Oy, on a

x = — longueur OP', j = -\- longueur OQ.

De même pour W on a

. x = — longueur OP', j = — longueur OQ',

et pour M'"

X = -h longueur OP, je = — longueur OQ'.

6 POSITION d'un point

Les axes coordonnés Ox, Oy, s'appellent souvent, Tuu l'axe des x, l'autre Taxe des j^. L'intersection O est Von-gine des coordonnées. Les coordonnées sont dites rectangulaires ou obliques, selon que l'angle des axes est ou n'est pas droit.

8. Etant données les coordonnées jt, 7, d'un point M par rapport à deux axes connus, on obtiendra ce point p^r l'une des deux constructions suivantes :

I®. On peut porter sur les axes les longueurs des coordonnées OP, OQ, chacune dans le sens indiqué par son signe ; puis tracer par P et Q , parallèlement aux axes, deux droites qui font avec les axes un parallélogramme et qui se rencontrent au point M.

2**. On peut porter sur l'un des axes celle des deux coordonnées qui s'y rapporte, par exemple OP égale à x sur l'axe Ox, dans le s^ns indiqué par le signe de x ; puis par le point P ainsi obtenu mener la droite PM, parallèle au second axe, égale à l'autre coordonnée, et dirigée dans le sens Oy ou dans le sens opposé, suivant que cette coordonnée a le signe 4- ou le signe — . Dans le cas où le point M est supposé obtenu par cette construction, la première des coordonnées s'appelle abscisse, et la seconde s'appelle ordonnée.

9. Lorsque les axes sont rectangulaires, les points P et Q sont les projections orthogonales ou les projections proprement dites du point M sur ces axes. Quand ceux-ci font un angle quelconque, les points P et Q peuvent être appelés les projections coordonnées du point M sur les axes.

10. Tous les points delà portion de droite OM ont leurs projections coordonnées entre O et P sur Taxe des x, entre O et Q sur l'axe des y. C'est pourquoi les dislances OP, OQ , dont l'étendue et le* sens sont exprimés par les grandeurs