DANS L ESPACE

pose des coordonnées dans Vordrex^y^z. Ainsi l'on considère le point M comme obtenu en portant a: de O en P, puis / de P en C , enfin z de C en M.

La première des coordonnées s'appelle alors V abscisse x^ la seconde s'appelle V or donnée y dans le plan des x et y, la troisième s^appelle V ordonnée z dans V espace.

Dans Isifig- 4? les coordonnées x^jr^z^ du point M, sont positives; l'abscisse a:, du point JM', est positive, et ses deux autres coordonnées sont négatives.

15. Le point C, où la parallèle MC à Taxe des z rencontre le plan des x et y, s'appelle la projection du point M sur le plan des x ety parallèlement à Vaxe directeur Oz. Ce point C est déterminé par les deux coordonnées x ely^ du point M , indépendamment de la grandeur et du signe de la troisième z. De même les points A et B {fig^ a) sont les projections analogues sur les deux autres plans coordonnés, et cbacun d'eux est défini par deux coordonnées du point M, indépendamment de la troisième.

Si l'axe Oz est perpendiculaire sur le plan xOy, le point C est la projection orthogonale de M sur ce plan, et la ligne projetante MC est perpendiculaire à ce même plan. Dans tout autre cas, la projection C est dite oblique, et dépend de la direction de Taxe Oz.

16. Le point P, dont la position est déterminée par l'abscisse jc, et où le plan mené par M parallèlement au plan yOz rencontre l'axe Ox, s'appelle la projection du point M sur Vaxe des x parallèlement au plan directeur yOz. Les points Q et R, déterminés respectivement par les coordonnées y et z^ sont les projections analogues sur les deux autres axes.

Si le plan yOz est perpendiculaire sur l'axe Ox, le point P est la projection orthogonale de M sur cet axe, et

lO PROJECTIOS

la ligne projetante MP est perpendiculaire à ce même axe. Si cette condition n*est pas remplie, la projection P est dite oblique et dépend de la direction du plan jOz.

17. Les droites OC, OB, O A, sont les /yro/ac/ioiucoordonnées de la droite OM sur les plans coordonnés. Chacune d'elles est déterminée complètement par deux coordonnées du point M.

Les distances OP, OQ, OR, exprimées parx, jr, z, sont les projections coordonnées de la droite OM sur les axes coordonnés.

18. Les coordonnées x, j^, 2, du point M, peuvent donc être considérées sous quatre aspects :

i^« Comme les distances de Forigine O aux projections coordonnées P9 Q , R , du point M sur les axes \

2*^. Conmie les distances des projections. coordonnées A, 13, C, sur les plans au point M ;

3^. Comme les projections coordonnées de la droite OM sur les trois axes \

4^. Comme les trois côtés contîgus d'un parallélipipède dont la droite OM est la diagonale partant du même sommet.

19. Lorsque les axes coordonnés Ox, Oy, Oz, sont rectangulaires, les cQordonnées x, j^ z, d'un point M, sont égales aux dis ta nées de ce point aux trois plans coordonnés

Dans ce cas, en faisant OM ^=: u^ on a

n^ = z' -hOC , OC = x' -hj\ d'où

d'un COUTOtJR POLYGOKAL. l t

4*". Projections d'une droite limitée et d'un contour polygonal

sur des axes coordonnés.

20. Si deux points M' et M" sont projetés en F et F', sur l'axe Ox, la distance FF', prise avec le signe qui convient au sens allant de F à F', s^ appelle la projection de la droite M' M''. L'ordre dans lequel on énonce les points extrêmes M', M'^, et leurs projections F, P", détermine le sens de la projection FF^ d'où résulte le signe que celle-ci doit prendre dans les formules où elle entre. Ainsi, dans le cas de laifig- 4? 1^ projection de M'M'^ est -h longueurVV ^ tandis que la projection de M"M' est — celle même lon^ gueur.

21. Il résulte de cette définition, et de la discussion du n° 3, que la projection d'une droite M! M^^^ dont les extrémités M', M!\ ont jf et x/' pour abscisses sur Vaxe de projection^ est égale à x^ — x'.

22. D'après cette même définition, on reconnaît aisément l'exactitude de la proposition générale que voici :

Théorème. Quels que soient l'axe Ox de projection et le plan coordonné yOz, la somme algébrique des projections des côtés d'un chemin polygonal M! M^'M"'... M("\ (fui conduit du point M! au point M^"\ est égale à la projection du chemin direct M'M^"^ ifiS' ^)*

En effet, cela est évident si les projections partielles FF', FF", ... 5 sont de même sens et par conséquent de même signe; et si elles sont de sens opposés, chaque projection positive fait avancer le point P de toute sa valeur dans le sens positif, tandis que chaque projection négative le fait reculer de toute sa valeur dans l'autre sens.

On peut démontrer cette proposition algébriquement en s' appuyant sur celle du n^ 20.

x', x^\ x"', . . ., ^^"^5 étant ks abscisses des points M',