DES FONCTIONS COMPOSÉES. I

OU plus simplement

étant bien entendu que la différentielle d'une fonction n'est pas autre chose que la dérivée de cette fonction multipliée par la différentielle de la variable indépendante. Ce résultat général s'énonce ainsi :

Théorème. La différentielle (Tun produit est égale à la somme des résultats qu'on obtient par la différentiation Jaite en considérant successii^ement chaque facteur comme "variable et Vautre comme constant.

Remarque. Ce théorème s'étend à un nombre quelconque de facteurs. Le produit ui^z étant considéré comme (uu) z, on a

du^z = ui^dz -f- zdu^; or

dui^ = udu -^ i^du, donc

dui'z = uf^dz -h M^dp» -h uzdu,

La règle à suivre en général est manifeste.

251. Le même théorème s'applique à un quotient, car on peut mettre celui-ci sous la forme d'un produit et se servir de la formule du n<> 240.

-M I , j I du udv vdu — udv d- = -du -hMa- = r- = ; •

252. Règle générale de la différentiation des fonctions composées. Les théorèmes précédents suffisent à tous les besoins des applications du calcul différentiel. Cependant nous ne croyons pas devoir passer sous silence une propo-

194 DIFFÉRENTIATION

sition très-générale et très«remarquable qu'on trouve dans les traités spéciaux sur cette matière.

Soit ^ = F (m, m), c'est-à-dire la fonction F de u et de %^, les quantités u et i^ étant elles-mêmes des fonctions d'une varidïle indépendante x.

Pour arriver à la dérivée -f^ ? donnons à x un accrois-

ax

sèment fini ^x-^ les fonctions u, ^et jr prennent eu conséquence les accroissements simultanés ûu^ A^ et Ay^ et

l'on a

Ay = F{u-h Am, i^-h Ai/) — F(ii, »/).

Pour nous rendre compte de la loi suivie par cette différence quand Ax diminue dans u + An et danis i^ 4- Ai^, supposons qu'au lieu de faire croître simultanément u et f^ dans la fonction composée y^ on commence par accroître seulement Fune des deux fonctions composantes u, et qu'on forme ainsi F ( m -f- Ai* , 1^) .

Cette quantité s^introduit naturellement dans l'expression de Ay qui prend la forme

Ay = F(ii-4- Am, v) — F(ii, j^)

H- F (m -f- An, \^ -h Af^) —F(u-hAu^i')',

par conséquent

/ àX F (a-f-Aa,</) — ¥ (u, v) au

. . ]^x Hu ù^x

'' ^ F(m-H- Am, i'H-Ai') — F(m-+-Am, c) àv

Passons aux limites vers lesquelles tendent ces quantités, à mesure que les accroissements Ax, Au, Ai^ elAy

approchent de zéro. Les limites de — , — et — sont les

^x Ax ^x

dérivées désignées, suivant la notation convenue, par -r-*

d M d r dx QX

DES FONCTIONS COMPOSÉES. IpS

La limite du rapport

Su

est la dérivée par rapport à u de la fosiction F (ii, u) dans laquelle on ne ferait varier que u , en considérant v comme une constante. C'est ce qu'on appelle la dénuée partielle de F {uy u) ou de j)^ par rapport à u. On la désigne par

Fu (a, u)^ ou plus simplement par j^j en ayant soin de se

rappeler que , si l'on considère le numérateur dy comme un accroissement inGniment petit de j^, il répond à la variation infiniment petite de u seulement , et non aux variations simultanées de u et de u^

Enfin remarquons que, dans le rapport

le numérateur est raccroîssement que prend F (u -^ Au^ u) quand on fait croître fde Au. Par conséquent, si Pon fait varier A u seul et approcher de zéro , on aura pour limite de la fraction dans cette hypothèse, la dérivée par rapport à (" de la fonction F (m -H Am, u) , et pour avoir ensuite la limite dont s'approche la fraction quand Au et Au diminuent tous les deux, il ne reste plus qu'à faire Au^=o

dans F'^ (m H- Au , u)^ ce qui donne F[ {u , u), ou t^j dérivée partielle de F (m, u) ou dey par rapport à u.

En égalant les limites des deux membres de l'équation (i), on obtient la dérivée totale dej^, savoir :

d^ dy du dy dv

dx du da: dv dx

196 DIFFéRCNTIÀTlON

OU , ce qui a au fond la même signification ,

dr = ^- dM+ -J- • di'».

•^ dw di'

formule dans laquelle il faut bien remarquer cette anoma-^ lie peu conforme à 4a rigueur du langage algébrique , que la notation Ay a trois significations différentes , puisqu'elle désigne dans le premier membre une différentielle totale, et.dans le second des différentielles partielles. Mais les dénominateurs àueiAxf du second membre empêchent toute confusion.

La formule précédente , facilement étendue à un nombre quelconque de fonctions composantes, s'énonce ainsi :

Théorème. La différentielle d^une fonction composée est égale à la somme des résultats quon obtient en considérant successivement chaque fonction composante comme ^variable et les autres comme constantes .

Les règles des n°* 247 et 250 sont des cas particuliers de celle-ci.

Exemple. Revenant à l'exemple cité au n° 246, on trouve

^r*sin'.3c sans difficulté la différentielle de qu'on met préa-

I — log X ^ '^

lablement sous la forme — • On a (n®* 249 et 250)

, a(/ zvdu -^ zudv — uvdz

Ensuite, de

M = x'~, i^=sin*x et 2? = I — logar, on tire

Au = mx'""*, di^ = 2sinj:cosxdx = sin2a:djr,

Il ne reste plus qu'à substituer.