DES FONCTIONS IMPLICITES. I

âS3. Dijférentiation des fonctions implicites. Deux tjuantités variables sont fonctions implicites Tune de T autre, lorsqu'elles sont liées par une équation indiquant entre ces quantités des opérations déterminées.

Exemples: i^. logy^sssinx;

Dans chaque cas^ est en réalité une fonction de x, quoique non exprimée explicitement. Chaque membre est donc, ou fonction immédiate de x, comme sin x, ou fonction de fonction de x» comme logy^ ou j^^, ou fonction de plusieurs fonctions de x, comme axy-h x'. Or, quand deux fonctions d'une même variable sont égales, quoique différemment exprimées, leurs dérivées et leurs différentielles, par rapport R cette variable, sont nécessairement égales.

De là le moyen de déduire d'une équation, comme celles

ci-dessus, l'expression en x et j^ de la dérivée -p- ou de son inverse.

i**. De \o^y = sinx on conclut

logedr ,

—-2 iL ^=z cosx dx.

2*^. Dey* = flxj^-j-x'^

3/*dj^=: axd/-4-aj^dx-f- 3x*dx,

De chacune de ces équations différentielles, on tire soit

T^ soit -7-9 en opérant comme si dr et dx étaient des dx dj ^ ^

quantités finies.

Théokème. En général on tire d'ur/e équation en x^y^

la valeur de -r- ou de -r- en différentiant les deux mem--

bres suii^ant les règles des fonctions de fonctions.

igS FORMULES

& la relation de x avec j^ était implicitement exprimée par deux équations entre ces deux quantités et une troisième variable z, comme

F(x,y,z)=zo etf{j:,j, «)=o,

pour trouver -p- il suffirait de dififérentier ces équations

par rapport à la variable x suivant la règle du n^ 252. On aurait, en désignant simplement par F et fies deuxfonctions ci-dessus.

et

dF dx

dF dy

dx

dF dz dz dx

df d^

df dj

dx

df dz

dz dx

M 2 fl V

d'où en éliminant ^ — on conclurait -r- en fonction des dé-

dx dx

rivées partielles -p > -=— » etc., qui elles-mêmes sont des

fonctions de x^j et z.

§ y. FORMULES DE DIFFÉRENTIELLES OBTENUES PAR LES RÈGLES