PRÉCÉDENTES

254. Parmi toutes les formes possibles de fonctions, il en est un certain nombre très-limité auxquelles les autres se ramènent. Elles sont nommées Jonctions simples^ et on les partage en deux groupes, savoir, en désignant par m un nombre quelconque positif ou négatif, et par a un nombre positif quelconque :

i*^. a:'", a', sinx, cosa:, tangj:, cotx, séca:et cosécx, 2^. logx, arcsina:, arccosjc, arc tango: , arc cota:, arcsécjc, arccoséca?.

A l'exception de a;'", leslibnctions d'un de ces groupes

DE DIÏ'FÉ'RENTIELLES. I99

sont^tes inuerses de celles de l'autre groupe, parce que, en général, si d'une équaliony = 1F (x) on lire j: = 4> (j^), on dit que les deux formes de fonction F et 4> sont inverses

l'une de Tautre. Ainsi de r=a*on conclut x = r-^;

"^ loga

donc la forme log^ est, sauf un facteur constant, inverse d^ la forme a'. De même si l'on a j^ = sinjc on en conclut que ^ est l'arc dont le sinus esty , ce qu'on écrit de cette manière

j:=arc (sin=^) ou plus brièvement a: = «rc sinj^. La

i. • fonction inverse de x"" serait y"* et par conséquent de même

forme, attendu que m peut être fractionnaire.

Différentielles des fonctions simples^

255. j=x^. On a différentié cette fonction (239) en supposant m entier et positif. Pour ramener dans tous les cas la différentation de x"" à celle d'une des fonctions fondamentales, on transforme la relation donnée en une autre équivalente, et l'on applique le théorème du n^ 253,

yz=x^ équivaut à logy = m log je:, d^où

•donc

ou

logédjr loge do;

j yAx dj t=^m-

[dor''* = wx'"~* dx] (*).

( * ) Nous mettons ainsi dans des crochets [ ] les formules qu'il importe de connaître pour s''en servir au besoin dans les applications. Dans ces formules X est, suivant les cas, la variable indépendante ou ufie fonction de cette variable^

200 FORMLlW

Cas particuliers, i". /7ï=-—

K-rfe]

la: x^ j

Î250. r == «^ (rt nombre positif quelconque) ;

log r == ^ lôga, d'où

-^^ =log.2dx;

donc

["--li-:"'^-]

2S7. j^ = sina: ou j: =; arc sinj^.

On sait (243) qu'on a

dj^=r cosxdo:, c'est-à-dire

[d sin X = cos x d j:] ; donc

cos.r \/i.— sin'^ \/i — j2 ' donc (**)

[d arc sinx = - .