IV. r = arc sîn

Soit

I H- a:* = is' et r = arc sin — •

xàx = zAz et dr = — ■ H — ;

, dj7

§ VI. DES DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES DES FONCTIONS d'une VARIABLE. EXEMPLES DE LEUR EMPLOI.

265. Lorsque y est une fonction de x exprimée par la notation j^=: F (x), les règles précédentes font connaître sa dérivée par rapport à x^ désignée par F'(j:).

Cette dérivée est, en général, une fonction de x^ et a par conséquent elle-même une dérivée par rapport à cette variable 5 on la désigne par F"(.r) et on l'appelle la seconde dérivfée de F (a:).

Si F" [x) est encore une fonction de x, sa dérivée par rapport à cette même variable se désigne par F'" (or) et s'appelle la troisième dérivée de F(x).

En considérant ainsi les dérivées successives produites par F (x)^ on comprend que la notation F" (x) indique la dérivée du n'^"*' ordre ou de r ordre n de la fonction ¥ (x).

Les dérivées successives d'une fonction ont une autre notation qu'il est bon de connaître.

De même que lorsqu'on pose r = F (x), F' [x) se dé-

îgne par -r^? on pourrait indiquer F"(.r) par

SI

dx' ' ^ ^ ' * dx

DE DIVERS ORDKES. 2o5

Or on remplace cette notation par celle-ci :

ddr , . , d^r

j^ -ou, plus simplement, g^,,

qui signifie absolument la même chose.

En général , si Ton a

on a aussi

266, Exemples. On trouvera sans difficulté :

dj;"

d^" \Iog«/

d"sin.r

d"C0SJ7

\X , ( ff\

— = sm I a: -h w - I = cos(x -f- w -

267. Nous avons vu (238) qu'en général x ^X. y dépendant l'un de l'autre, on a toujours, comme si do: et dj" étaient des quantités finies,

dx I

dj dj dx

n ne faudrait pas penser qu'on puisse aussi simplement changer la variable indépendante lorsqu'il s'agit des dérivées des ordres supérieurs.

•io8 MAXIMUMS

ainsi la courbe est tangente à la droite dont nous venons de parler. Quant à F''(j:), elle est nulle à l'origine, et partout ailleurs elle est de même signe que x. Donc (268) au delà de Torigine la courbe tourne sa concavité dans le sens des y positifs, et en deçà de l'origine elle la tourne en sens contraire.

Le point qui jouit sur une courbe de cette propriété du changement de sens de la concai^ité s'appelle un point d'imflexion. Il est caractérisé par la condition que si jr = i(x) est l'équation de la courbe rapportée à deux axes, x' étant P abscisse du point d'inflexion, la seconde dérivée f" [x) est nulle quand on y fait x = x', et a deux signes différents quand on y fait x^x' et x < x' .