Nous venons de voir que est une fonction de

X développable , quand a: est <[ i , en une série convergente suivant les puissances de x, ce qu'on écrit ainsi :

a , = a 4- ax -h OJC -h . . . .

Supposons maintenant qu'une autre fonction désignée par F (x) jouisse de la même propriété, et cherchons les coefficients des termes successifs de la série. A cet effet, posons

F {x) = A"\-Bx + Cx^-^ Dx^ -4- Ex' +

entendant que le nombre des termes du second membre est poussé aussi loin que l'exige le degré d'approximation qu'on veut obtenir. En prenant les dérivées successives des deux membres , on a •

F''(a:)=2CH-2.3Z):r:-i-3.4^^'4-..., F'''(jc)=:2.3Z>-+-2.3.4£a:4^...,

pt ainsi de suite.

ai8 DÉVELOPPEMENTS EM SÉRIE.

De ces équations qui doivent subsister, quelle que soit la valeur de jr, au moins quand elle est assez petite, il est facile de conclure les coefficients -^, 5, C, Z), . . . , indépendants de X. En y faisant jc = o et appelant F (o) , F' (o) , F" (o), F'" (o) , . . . , ce que deviennent alors la fonction F (x) et ses dérivées successives, on obtient

^ = F(o), 2f = F'(o), C = î^, Z)=?^^etc.,

formules dont la loi est manifeste et d'où Ton conclut

F(:r) = F(o)+F'(o)f + F''(o)^+F'"(o)^ Exemples, L

F [x)={a+xY

F (o) = a- F (o) = wa'"-*

(a -f- x)'"= û'*H fl"-* X H ^ ■ a'"""*x*

C'est la formule du binôme de Newton applicable à un exposant quelconque , pourvu que n soit assez petit pour que la série soit convergente.