RAYONS ET CENTRES DE COURBURE

^male de Tellipse est proportionnelle à Tab-

, ^ nde valeur absolue est — ? c'est-à-dîre la

% '^^ V^ parabole est constante et égale à

^ ' ^^ . '^x, n double de la distance du som-

' .^ V, ' ^ Te des courbes planes »

'^', '^, ' * / '^be plane {fig. 66),

^ ' . de la même courbe

-i'. Si la courbe est un j des deux normales est indé* M Tare MM' 5 la distance MO' est i:entre du cercle. Si la courbe n'est si, en considérant comme constante la a normale MN, on fait varier le second point par conséquent, la normale M' N', le point d'injclion O' des deux normales est variable. Dans ce oas, la distance MO', à mesure qu'on prend l'arc MM' de plus en plus petit, approcbe autant qu'on veut d'une certaine limite MO , qu'on appelle le rayon de courbure de la courbe considérée au point M , et lé point O dont s' approcbe indéfiniment l'inlersectîon O' est le centre de courbure de la courbe au même point M.

C'est ce qu'on exprime d'une manière abrégée en disant que le centre de courbure du point M est à V intersection de la normale MN en ce point et de la normale infiniment voisine.

283. Problème. Connaissant V équation y = {[x) d'une courbe plane en coordonnées rectangulaires, trouver Vex^ pression de son rayon de courbure au point dont les coor^ données sont x et y.

En considérant la figure MM'O' comme un triangle qui

!134 tlAYOHS ET CËSTRES

tend à devenir isocèle et dans lequel^ l'angle M(y M' étant très-petit , on a , aussi approximativement qu'on veut , et sauf une erreur qui disparait à la limite ,

tang MO' M'

Désignant par x H- Ax et y -+- Ay les coordonnées du point M', on a

MM'=s/(àx)*-h{AyY ou Aari/i+(^y.

Pour exprimer taugMOM', menons en M et M' les tangentes MT, M'T', faisant avec Ax les angles a et a'. Nous aurons

et, par conséquent (57),

taugMO>M^= tanga--tanga ^ 1-1- tang a tang a'

Désignons par z l'inclinaison tanga ou -~ ^ et par i-f-Ai Tinclinaison tanga': nous aurons ainsi

tangMO'M'= ^!i' . . ■

Substituons les valeurs de MM' et de tangMCKM', ainsi trouvées, dans l'expression de MO'; elle devient

MO'=X WZJ

Or, à mesure que Ax diminue , le rapport —^ approche

indéâniment de -^ » égal à z ou à f '(x), tandis que — ap-

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