TANGENTES
et ces valeurs étant substituées dans Texpression de p, on trouve
ou
■'i-ff
ir'+p'?
en donnant à cette dernière formule un signe contraire à celui dey.
Dans le cas particulier où le point M est le sommet de la parabole , on a
y = o et p = py
c'est-à-dire (129) que le rayon de courbure est double de la distance au foyer. Cela résulte aussi du n° 281 , car le rayon de courbure au sommet, soit de la parabole, soit de l'ellipse, est égal à la sous-tangente.
286. Tangentes aux courbes dans l'espace. Soit une courbe définie (90) par deux équations
(i) F(x,jr,z) = o et {{x,j,z) = o,
qui sont celles de deux surfaces dont elle est Tîntersection. Il en résulte que si nous désignons par x', y' et z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe , elles doivent, étant mises pour x^ y ex z^ satisfaire à ces équations (i) ; et deux quelconques de ces coordonnées x\ y' ex. z' sont des fonctions de la troisième, de sorte quon obtiendra leurs dérivées en différentiant les deux équations (i) Conformément à ce qui a été dit à la fin du n^ 253.
Pour plus de généralité et de symétrie dans les formules, nous laissons arbitraire le choix de la variable indépen-
DANS L ESPACE. aa7
(^ante, et nous écrivons
I dF , , dF . , dF , ,
dF^^+d/^-^+dF'*^-"^'
Cela posé , occupons-nous de la détermination de la tan-« gente à la courbe dont il s'agit. Cette droite passant par le point dont les coordonnées sont x'^y'^ 2', on peut mettre ses équations sous la forme (173)
De plus en remarquant que la définition du n^ 225 s'applique aussi bien à une courbe à double courbure qu'à une courbe plane, on voit aisément que la projection de la tangente à une courbe sur un plan est la tangente à la projection de la courbe sur ce même plan, les projections étant d'ailleurs rectangulaires ou obliques.
De là il résulte que les équations (3) peuvent être rem* placées par
^-•^=di^<^-^>
et
Az'
z — z'-^-^ix — x'),
ou bien
dx' dy dz'
Ainsi les trois différentielles dx', djr\ dz' qui entrent aU premier degré dans tous les termes des équations (a), sont proportionnelles aux différences x — x\ y — y\ z — z'-^ elles s'éliminent donc immédiatement, et l'on a pour les
228 PJLAW TANGENT
équations cherchées de la tangente
(IF , ,v . dF y ,. dF . f.
df / n df . ,v df , ,v
Il est entendu que :t, y, ^ sont ici les coordonnées variables d'un point quelconque de la tangente , et que les coefficients -i — >i -; — -.j etc., dérivées partielles des fonctions F ax' aa;' '^
et f , dans lesquelles on a mis pour x^j et z les coordonnées x\j' et z' du point de contact , ne renferment que ces dernières coordonnées^ et les autres constantes appartenant à ces mêmes fonctions F et f.
287. Plan tangent à une surface. Soit l'équation de cette surface
Si par le point dont les coordonnées sont x\ y\ z\ et satisfaisant à cette relation , on fait passer une autre surface dont réqwation soit
la tangente à la courbe d'intersection aura pour l'une de ses équations
qui est celle d'un plan passant par le point dont les coor donnés sont x\y^ et 2'. Cette équation est indépendante de la fonction f qui , en changeant , détermine sur la première surface autant 4e courbes diverses qu'on- voudra. Le plan défini par l'équation ( 3 ) contient donc les tange^ntes à toutes
