Exemples. Soit -—^ = ^oo:"*, l'exposant m étant un
u oc
nombre quelconque, positif ou négatif, mais différent de
a32 . COMSIDÉRÀTIONS FONDAMENTALES
Ou sait que -r — est Tîajc""*. Choisissant n et a de sorte
dx
qu'on ait
na=zp et n — i = m, c'est-à-dire
« = /rtH-i et a = ^=: — ^ — î
on trouve que ^ a pour dérivée px"*. Donc la formule
générale de y est
px^
-hC.
^0 Soit ^ = x:.
« j dlogo: loge . , ^
' bn partant de — - ^ = — 2, on trouve aisément
7 ==T-^logjc-|- C = 2,3026 p logo: -+- C
En général , Texpression j = F (x) -h C déduite de l'équation ày = F' (x) dx s'appelle Vintégrale indéfinie de dj ou de F' (x) dx.
291 . La constante C cesse d'être arbitraire si l'on a les . coordonnées x^ et j^o, d'un point de la courbe: car, en outre de
, j = F(^) + C, on aura
y, = F(x) + C; d'où
Celte quantité y — y^^ accroissement de 7 à partir dej^o» ou depuis l'abscisse Xo jusqu'à l'abscisse x, s'appelle /'miégrale définie de dy ou de F' [x) dx depuis Xo jusqu'à x.
• ci 'V' .
Exemple, Si la courbe dont rînclinaîson -^ relative-
ment à Taxe des x est /> jc'", passe par Toriginé des coordonnées, alors on a C= o, et l'expression àe y est sijnplement
292. Il convient de savoir d'où vient la dénomination intégrale.
Soient Xo, ^0* les coordonnées connues du point M^ (fis* ^l)' ^^ connaît en outre Tinclinaison f [x) de la tangente par rapport à l'axe des x^ pour tout point de la courbe, en fonction de son abscisse or. On demande l'ordonnée JTdu point M dont l'abscisse est X. Soient
PqP ou-Ï — a'o subdivisé en intervalles Jj , «Jsv? ^55 Il l'inclinaison de la corde Mo M, ;
Ij, Is, I*, I5, celles des cordes suivantes M iMt 9 MjMs... ; MiNj = Ml Pi — MoPo = Al, la différence des deux ordonnées consécutives ; As, A3. A4, As, les autres différences analogues.
On aura
A,=IiCÎi, A2=Iî,CÎ2v5 As=l5<^59
d'où
ce qui s'exprime en abrégé, quel que soit le nombre fini des subdivisions, de cette manière :
Si le nombre des divisions devient tellement grand et les arcs tellement petits qu'on puisse considérer les cordes comme se confondant avec les tangentes aux points successifs de la courbe, alors les valeurs successives de I peuvent
234 CONSIDÉRÂTIOIVS FONDAMENTALES
être remplacées par celles de ( (x)-^ l'erreur que Ton commet est d'autant moindre que les intervalles â sont plus petits, et devient aussi petite qu'on veut.
Si par exemple on fait en sorte que la différence entre chaque valeur de f (j?) et celle de I correspondante soil moindre qu'un millionième de celle-ci, Terreur commise est moindre qu'un millionième de la valeur totale SH.
On peut donc écrire
Y — jo = lini [f (xo) 5, -f- f (xo ^- Ji) cî,
+ f(^o + <îi-Hcî0^8 4-...f(X— (î„)cî„]
ou, en faisant et par suite
Wi = Xi — Xq^ 0^z=zXi — Xi^ ^8 = J^$ — J'j...,
Y— jo = liin [f (-^o) (Xi — Xo)'h{(Xi)(Xi — Xi)
-+-f (a:,) (Xfi — Xi) H- ... f (x„i) (X— x„i)].
L'usage est de représenter la notation du second membre par cette autre beaucoup plus simple :
f (x) dx
qui a la même signification et qu'il faut par conséquent interpréter en des termes équivalents à ceux-ci :
Limite de la somme qu'on obtient. :
1°. £n mettant pour x dans r expression f [x) une suite de n ^valeurs Xo, Ci, J^s, ^sv? 7'" varient par degrés égaux ou inégaux j mais très- petits, depuis x^ijusqiCà une valeur x,^^^ 9'" diffère très-peu de X^
2^. En multipliant les valeurs f (x©), ( (xi) ^ J (Xt)^ ((x^).,,, f(x„.i), respectivement par les différences
(Xi — Xq)^ (Xi — x^)^ (jcs — X,)..., (X—x„^i)^ cest'à" dire chaque valeur de la fonction par la différence entre la 7}aleur de x qui ta produite et la valeur suivante de cette même variable^
3°. En ajoutant les n produits ainsi formés.
Plus le nombre n augmente, plus on approche de la vraie valeur représentée par la notation ci-dessus. Le résultat ainsi obtenu, étant considéré comme la quantité tout entière (en latin intégra)^ dont f (x) dx exprime un élément infiniment petit, s'appelle pour cette raison Vintégrale de {(x) dx^ Les quantités jCoi ^^ dont la signification est expliquée ci-dessus, déterminent /^5ej:f/'é/7/2Yéj de V intégrale^ ou les limites entre lesquelles la différentielle i{x) dx est intégrée,
293. II résulte de ces considérations que les intégrales peuvent avoir divers caractères :
i^. Quand jon donne
^ = f(x) ou dy=i((x).dx
et qu'il s'agit seulement de trouver une expression générale dej^'', c'est-à-dire de toutes les fonctions dont la dérivée est i{x) ou dont la différentielle est f [x] dx^ si l'on parvient à découvrir une fonction F [x) dont la dérivée F' (x) soit égale à f (a:), on a la réponse à la question en posant
Cette expression s'appelle V intégrale indéfinie de ((x) d.r, et la relation qui existe entre elle et f [x) s'écrit ainsi :
C {{x)dx = ¥[x)-^C,
ce qui signifie simplement que si Ton différentiait F {x) -f- C par rapport à x, on aurait ^{x) dx.
^36 COSrSIDÉRATlOMS FONDAMElfTALES
Exemple :
ax"'^'
flx'" àx = h C ^
a dx « , . ^
= , logx-f-C.
X loge
2^. Lorsque, outre l'équation ày = { (x) dx^ on sait i|ue la fonction y prend une valeur déterminëe^o pour une valeur également déterminée Xq de la variable Xy et qu'on demande en conséquence la valeur y de la fonction pour une valeur quelconque X de la variable, en supposant tonjours qu'on sache trouver une fonction F (x) dont la dérivée soit f (x), la réponse est dans Téquation
r-jr, = F{X)-F(xo).
Le second membre s'appelle V intégrale définie de i{^x) àx prise depuis x^^ jusqu'à X; et la relation qui existe entre cette quantité et f {x) s'écrit ainsi :
¥[X) — ¥[x,)=f {{x)dx,
notation dont on comprend l'origine et la signification, d'après les explications du n° 292.
294. Les considérations du n^ 292 ne servent pas seulement à expliquer une notation, elles fournissent un théo-
RJEME TRES-IMPORTAHT, SaVoir *.
Étant donnée une fonction quelconque {[x) y si Von demande une autre quantité qui^ diaprés sa définition^ puisse être représentée par la formule
lim [f (J^o) (^t — ^o) -f-f (-ï^i) [xt — oCx) -4- ...
-hf {j:„-i) (X— j:„^,)],
on plus simplement^ mais a^ec la même interprétation^
SUR LE CALCUL INTÉGRAL. aSj
toutes les fois qu'il sera possible de troin^er une quantité F (x) dont la dérix^ée serait f (x), on aura la réponse en posant
{(x)àx = ¥{X)—¥{x,).
295. Remarque, Une intégrale défiaie peut être négative, soit que, entre les deux extrérailés de cette intégrale, la valeur moyenne de la dérivée i[x) soit négative ; soit que OTo, première valeur extrême de la variable, se trouve plus grande que la seconde X, auquel cas l'intégrale est la limite de la somme des produits des valeurs successives de la fonction, f(a:o), f (jCi),..., f(a:„»i), multipliées par les différences négatives Xx — Xo, Xt — J^'iv? ^ — ^n^\\ et îl est évident que le résultat ne diffère que par le signe de celui qu'on aurait en changeant Tordre dés valeurs extrêmes. C'est d'ailleurs ce qui se conclut immédiatement de la formule précédente, étendue à tous les cas possibles. On a, en désignant toujours par F(x) une fonction dont la dérivée estf(x),
'''f(x)da: = F(X)-F(,ro), '
et
d'où
pf(.r)da: = F-(a:o)-F(X), I {[x)àx=: — I f(j:)d.r.
296. La quadrature des courbes offre une application très-utile du théorème du -nP 294.
Soit représentée dans la fig. 6y la courbe ayant pour équation j= H^)* L'aîre PoMqMP, bornée par deux ordonnées répondant aux abscisses .r©, X^ est la limite do la
