CONSIDÉRATIONS FONDAMENTALES

somme des trapèzes PoMoMiPi, PjMiMjPj,..., à mesure qu*on augmente le nombre des subdivisions PoPi, PiPfv Cette limite est aussi celle de la somme des parallélogrammes Po M© Ni Pi, PiMiNjPî,... : car, à mesure que les ordonnées consécutives se rapprochent, le petit triangle qui fait la différence d'un trapèze au parallélogramme correspondant, devient une fraction aussi petite qu*on veut du trapèze, et par conséquent la somme de tous les trapèzes ne diffère de la somme des parallélogrammes que d'une quantité qui est une fraction aussi petite qu'on veut de l'une ou de l'autre de ces deux sommes. Celles-ci ont donc la même limite. Donc l'aire PoM© MP, si les coordonnées sont rectangulaires, satisfait précisément à la définition de la

quantité I f (^) do:, et par conséquent lui est rigoureu-

sèment égale.

Si les axes coordonnés font l'angle a, on a la surface

Z7=sina I yàx»

297. Exemples, i". Quadrature de la courbe parabo^ ligne ayant pour équationy== aaf^ (fis^^) '

PoMoMP=Z7= / aoiràx.

Si Ton cherche une fonction dont la dérivée soit a^jc^^ on trouve (290, i°)

donc

U= f ax'"dx = F(X) — F{xo)

Si l'on voulait l'aire OMP, on aurait

Xa = o, et t/ =

Remarque :

aire OMQ = XY— OMP = a Jï'«+* — — — = !!^^

2^. Quadrature de V hyperbole ^ équdatère rapportée aux asymptotes et ayant pour équation j = - [fig- 69)-

Cherchant une fonction dont la dérivée soit -» ou

trouve (290, a^)

F (x) = 2, 3026 a logo: H- C; d'où Ton conclut

U= / ^do: = 2,3o26a log —

Remarques, 1**. L'aire ne dépend que du rapport