OP

2^. Si Ton faisait Xo=o, on trouverait l'aire y OPM = 00 . 3**. Il est bon de rappeler (242) que 2,3o26n'est que la

valeur approximative de

log^

. Toute intégrale définie I F(x)àx peut touj

ours

être considérée comme exprimant l'aire d'une courbe dont l'ordonnée rectangulaire correspondante à la variable x prise pour abscisse serait égale à F[x). C'est pourquoi l'opération par laquelle on détermine cette intégrale est fréquemment désignée sous le nom de quadrature.

!24o CONSIDÉRATIONS FONDAMENTALES

299. La cuBATURE DES SOLIDES terminés par des surfaces courbes est également du ressort du calcul intégral.

Soit l'axe Ox [fig- 70), situé d'une manière quelconque par rapport à un corps ; soit MMq AM', M' la courbe d'intersection par un plan passant par cet axe. La génération du corps étant soumise à une certaine loi , on suppose que l'aire de la section faite dans ce corps par tout plan tel que Mo M'^ ou MiVF, perpendiculaire à l'axe, soit une fonction connue de l'abscisse x^ distance du point fixe O au plan d'intersection. Cela posé, on demande le volume du segment compris entre les deux plans MoM'^, MM', dont les abscisses sont

Soit f (^) la fonction qui donne la valeur de l'aire d'une section dont l'abscisse est x. La section faite par MqM'^ est f (a:©)? celle par MM' estf (Jï) ; et si l'on partage l'intervalle PoP = -ï — Xo en un grand nombre n de parties; qu'on appelle Xi, x^^ Xj, . . . , x„i, les abscisses des points de division-, que par ces points Pj, P, , P3,. . ., on mène des plans M^M',, MjM',, MsM'g,.,., qui donneront des sections f (xi), f (.Tg), f (j^s), . . ., il est clair qu'on aura une grande approximation du volume cherché en prenant

la somme

f(.ro) [x^—x^)'\-{{x^){xt'-'X^)^{{x^)(xt—x^\ + ...

qui, dans le cas de la figure, est la somme des cylindres inscrits, dont chacun a pour base une section perpendiculaire à l'axe et pour hauteur la distance entre cette section et la suivante.

On voit de plus que Terreur commise pourra être une fraction aussi petite qu'on voudra du volume cherché, lequel est, par conséquent, et rigoureusement, la limite de la

somme ci-dessus, ou

{(x) dx.

300. Exemple. Corps de révolution engendré par l'arc Mo M (^g^. 71), dont Téquation est y=:iax^^ tournant autour de l'axe Ox.

Dans ce cas, Taire d^une section quelconque est celle d'un cercle dont le rayon est j-; c'est donc ny* ou Tra'oc:''". Donc le volume cherclié est

Si Ton voulait le volume à compter de O, on ferait Xo = o. Si OMoM était une ligne droite, m serait i, le corps un cône de révolution, et la formule deviendrait pour le volume, à compter du sommet,

7rû'X'= TT JT* est la base et X la hauteur.

301 . En attendant que l'étude delà Mécanique ait montré d^ autres applications du calcul intégral, les exemples qui précèdent suffisent pour faire apercevoir, son utilité.

La détermination d'une intégrale définie étant une conséquence immédiate de l'intégrale indéfinie désignée plus haut par Y[x) H- C, c'est dans la recherche de celle-ci que consiste la difficulté des quadratures et des questions ana-^ logues.

§ II. THÉORÈMES PRINCIPAUX POCR l'iNTÉGRATION DES FONCTIONS

d'une seule variable.

302. Les formules des difléfentielles fondamentales et celles qui sont établies du n** 255 au n^ 262 permettent d'é-