THÉORÈMES POUR ^^INTÉGRATION

crire immédiatement les intégrales indéfinies d^un certain nombre de fonctions.

A cette observation il faut ajouter quelques théorèmes qu'il va suflSre d'énoncer, parce qu'ils résultent immédiatement de ceux des n^' 244 et suivants.

303. Théorème I.' — Toute intégrale indéfinie est une fonction de la variable^ plus une constante arbitraire.

Théorème II. — U intégrale d'une somme de différentielles est la somme de leurs intégrales.

/[f(x)da:+9(r)dx-h...]== l{(x)dx-h /?(^)d

Théorème III. — On peut faire passer un facteur constant du dedans au dehors du signe I , et réciproquement .

304. Théorème IV. — Lorsqu'on peut, par la combinaison des facteurs qui entrent dans une différentielle ((x)dx^ la mettre sous la forme aF'(ya:)da)(.r), on obtient r intégrale par la formule

ÇaF'[(f(x)]d<f(x)=aF[(f(x)]-hC.

Exemples :

^ r ' «j /*sin:r^ 2jrd:r i , ^

i^. I xsinx'da:=: I = cosar'H-C;

ao. f ^^ = r —d{a—bx) ^ —\og(a—bx) ^ ^ J a — bx J b[a — bx] b\o^e '

DES FONCTIONS d'uNE YÀlllAVLE. ^4^

OU bien '

/ dx r dx __ fl d(fe^ — g) a — bx J bx — a J b bx — a

—\o%{bx — a) ^ ^ éloge

On emploie l'une ou l'autre de ces formules selon que bx est <[ ou ^ a.

305. Lorsque l'application du théorème IV parait trop compliquée, on représente la fonction auxiliaire (f [x) par une lettre, et l'on opère comme dans l'exemple suivant, où il s'agit d'intégrer

j dx

.r V I — x^ On fait

sji — x^ = z^ 1 — x' = -2*, — xdx =i zàz^

dx — zdz , — dz — dz

dz Pour intégrer ^ on l'écrit sous la forme

dz

dz \

i — zj

OÙ l'on reconnaît deux différentielles de logarithmes ; donc

y= ^,'^^ [log(l — z) — log(l-f--2)] +C.

1 loge

La fonction entre parenthèses est égale à log -

. I — z x—sl\ — x^ {l — \]l — X^)\

; or

244 THÉOKàMES POUR t'iNTÉGRÀTION

donc

y = log h C.

' loge ^ X