Remarques, I. L'intégrale

directement par une considération géométrique. \^a' — x^ peut être regardée comme l'ordonnée pour T abscisse x, à partir du centre d'une circonférence dont le rayon est a

se retrouve

25o FORMULES ET EXERCICES

OP = x, OM=û, MP=^a*—x\ PP'=:QM'=dj:.

Le triangle différentiel MQM' est semblable au triangle OMP. On en conclut

dx MM'

Or MM' est l'accroissement que prend Tare AM quand l'abscisse x prend Taccroissemeut dx. Donc l'intégrale cherchée, à partir de x = o jusqu^à la valeur x quelconque, telle que OP, est égale à l'arc AM divisé par le rayon,

c'est-à-dire égale à Tangle AOM dont le sinus est —

On trouve de même l'intégrale l ' - ■ La similitude

des triangles OMP, MM'Q donne

Ax MQ

sjoû" — x'^ ^

donc

X dx

MQ =

Or, MQ est la quantité infiniment petite dont décroît Tordonnée sa? — x* quand x croit de dx. Donc

xdx

Le même genre de considération s'applique très-simplement à l'intégrale / y/a' — x' dx. Car, si on la prend à compter de a: = o, c'est Faire du segment circulaire OAMP,

d'intégration. aSi

laquelle est égale à

triangle OMP -♦- secteur AOM

- X v« — oc^ -\ — « arc sin -»

ce qui est conforme au résultat de Texemple VIII, quand on fait a = I .

n. Lorsqu'on a une expression différentielle comprise dans la formule F [x, (a-^bxdz a:')] dx^ on peut la ramener à une autre ordinairement plus simple. Le trinôme se transforme ainsi :

Ht) -I

en faisant

on a

a + fea:zta:'= c* (i zt ^*),

et

j: = cz =i: - 5

dr = cd^,

trois expressions à substituer dans la proposée.

Cette observation montre la possibilité d'appliquer les formules des n°« 311, 312, 318 II, IV, V, VIII et IX à des

cas en apparence différents. Par exemple, on trouvera

dx dz .2

= arc sm

sla-\-bx — x^ s/i — z'\