IV. INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

318. Deux variables x eiy étant liées par une équation qu'il est toujours possible d'amener à la forme

chacune d'elles est une fonction implicite de Vautre, et Ion

dv peut de cette équation déduire soit la dérivée -r^ ? soit son

il JO

inverse -r-t par la différentiation (253), suivant la formule

i \ dF , dF ,

(2) -p- d:c-f- -T- dr = o?

^ ' ^ dx dr

chacune des dérivées partielles étant en général une fonction de X et de y.

En combinant les équations (i) et (2), on peut en obtenir d'autres auxquelles devront toujours satisfaire les valeurs

simultanées de Xy de y et de -p-? et qui seront comprises

dans la formule

(3) f [x,j) do: -h (P {x, y) ày = o.

Exemple, De

axy -H hy^ = c on tire

ay dx -k- ax ày -\- 2 5/ dj = o.

Cette différentiation a fait disparaître le terme constant c.

d'iwtégratiow. a53

Ou peut, en combinant ces deux équations, éliminer i, par exemple, et obtenir ^

ay^dx-h (ac — û^) d/ = o.

Les équations telles que (2) et (3) s'appellent des équations différentielles^ et sont, comme on «voit, de deux espèces. Les unes, comme (2), sont déduites ou peuvent se déduire immédiatement d'équations telles que (1) par la différentiation, ce qu'on exprime en disant que le premier membre égal à zéro de l'équation ( 2 ) est une différentielle exacte d'une fonction F (J!^»jr)» tandis qu'il en est autrement de Téquation ( 3 ) .

On comprend l'utilité de pouvoir remonter d'une équation différentielle à l'équation (1) qui l'a produite par différentiation et combinaison, sauf une constante qui a disparu ou pu disparaître.

Il suffit au but que nous nous proposons dans ces leçons de signaler un cas simple où l'intégration se ramène aux quadratures : c'est celui où il est possible de séparer les "variables dans l'équation différentielle, ce qui signifie que l'équation (3) proposée peut se réduire à la forme

f(j)djr=4>(x)d:r,

la fonction f (j) ne renfermant plus x, et la fonction 4> (x) étant indépendante àe y. Il suffit alors d'intégrer les deux membres en ajoutant à l'un ou à l'autre une constante qui sera déterminée lorsque, en outre de l'équation différentielle, on connaîtra deux valeurs simultanées des variables a: et y, ou un point, de la courbe exprimée par l'équation F [x^j) = o qu'on cberche.

Exemple, Soit

[bj^ — a) dx = bxy d)\

254 QUÀDBATURE

Oh en conclut

dx bfd^

X hy^ — a d'où

2 logjr = log -: i

donc

équation dans laquelle c est arbitraire, positif ou négatif, s^il ne s'agit que de satisfaire à Téquation différentielle proposée.

§ V. QUADRATUEE PAR APPROXIMATION.

319. Etant donnée une loi géométrique ou numérique au moyen de laquelle on peut construire une courbe par points et mesurer ou calculer ses coordonnées relatives à deux axes rectangulaires, on peut toujours calculer Taire PoM,jMP{yig'. 67) comprise entre deux ordonnées déterminées. Ce calcul se fait par appro'ximation lorsque Fordonnée y n'est pas donnée en fonction explicite de Tabscisse x, ou lorsque cette fonction f(x) est telle, que l'intégrale

f (x) àx ne peut être obtenue sous une expression générale F {x) + C,

320. Première méthode d'approximation. Lorsqu'on peut déterminer les coordonnées de n points intermédiaires, Ml , M2 , M3 , . . . , M„ , tellement rapprochés , que les arcs MoMi, MiMj,. . ., se confondent sensiblement avec leurs cordes , on considère l'aire cherchée comme une somme de trapèzes , et l'on a

^^'= \ Cn + ji ) à, -h \ tri + jO ^\