III. CENTRES DE GRAVITÉ DES SURFACES

338. Le centre de gravité d'un parallélogramme est à son centre de figure. En général toute surface plane terminée par une ligne courbe ou polygonale ayant un centre de figure (332) a son centre de gravité en ce point. Il en est de même d'une surface courbe ou polyédrique ayant un centre de figure. En effet, dans l'un et l'autre cas, la surface est décomposable en éléments qui sont deux à deux de même étendue et à égale distance du centre.

339. Si une surface plane est comprise entre deux droites parallèles AA,, BBi [fig- 8o), et entre deux courbes AMB, A,MiBi, telles que toute droite MM^ parallèle aux côtés AÂ] BBi, ait comme eux son milieu P sur un même axe KL, le centre de gravité de la surface est sur cet axe de symétrie oblique ou orthogonale.

Cette vérité est une conséquence du numéro précédent, si Ton considère la surface comme un assemblage de parallélogrammes très-étroits MNNjMi, en négligeant les triangles MNM', MiN, M',, infiniment petits par rapport aux parallélogrammes, ce qui ne peut altérer le résultat quand ou passe à la limite.

Remarque, Si la symétrie n'est pas orthogonale, l'axe KL qui contient le centre de gravité de la surface peut ne pas contenir celui de son contour.

340. Centre de grai^ité G de la surface d'un triangle ABC [fig. Si). D'après le numéro précédent, il est à la fois sur AD et sur BE, passant par les milieux D et E de BC et

de AC. D'ailleurs DE est parallèle à AB et d'une longueur moitié de AB; dono

GD = -AG, ou DG = :^AD.

Doue, en général, le centre de gravité de la surface d'un triangle est sur la droite menée d'un sommet au milieu du côté opposé, au tiers de celte droite, à partir du côté.

Remarque, Ce point G est aussi le centre de gravité du système de trois corps égaux dont les centres de gravité seraient aux sommets A, 6, G.

341. On trouvera le centre de grai^ité d'un polygone quelconque en le décomposant en triangles (331).

342. Centre de gi1av*ité d'un quadrilatère quelconque ABCD (fig* 82). Soit E le milieu de AC. Le ceiUre de gravité du triangle ABC est en H, au tiers de EB à compter de E ; de même I, centre de gravité de ADC, est au tiers de ED à conjpter de E. Le centre de gravité cherché G divise IH en parties IG, GH, réciproquement proportionnelles aux surfaces des triangles, ou aux lignes DF, BF ; donc, si l'on porte DF de B en K, en remarquant que BD et HI sont parallèles, on voit que G est sur EK, et que

EG = -z EK. De là une règle fort simple pour déterminer

graphiquement le point G.

Si l'on connaissait numériquement les longueurs FA, FB, FC et FD, on déterminerait les coordonnées obliques FL et LG du point G par le théorème des moments. On