VC • A F
FL. (surf BDC+surf BDA) = ^surf BDC— ^surf BDA. Or les deu^ surfaces sont proportionnelles aux longueurs
2^0 cbutres
FCetAF;donc
FL(FC + AF) = iFC»— AF')5 d'où
FL=^(FC — AF).
On trouve de même
LG = ^{BF— DF).
343. Centre de gravité d'un trapèze ABCD {fig* 83). Il est sur EF, joignant les milieux E et F des bases parallèles. Si l'on fait AB = i, DC == V, EF = /, en remarquant que les surfaces des triangles ABC, ADC, sont proportionnelles à fe et i', et que les ordonnées de leurs centres de gravité, prises parallèlement à EF et par rapport à AB,
sont -^Z et -r/, le théorème des moments donne d'où
344. Centre de grav^ité d'un secteur circulaire AOB (Jig. 84). En décomposant le secteur en éléments infiniment petits égaux , qu'on pourra considérer comme triangulaires et ayant leurs centres de gravité uniformément *
distribués sur l'arc ab, dont le rayon Oa = ^OA, on
verra que le centre de gravité cherché est aussi celui de l'arc ab (336).
345. Le centre de gravité du segment circulaire ABC A (fiS' ^^) ^^ déduira de ceux du secteur AOBCA et du tri-»
angle AOB.
Aires
Centre de gravité. . .
Distance au centre O.
Segment.
Triangle.
Secteur.
GO — x
on a
d'où
Aa: = A'x'-+- M'x", A'= A — A",
346. Centi^ de grwité du segment AOAi d'une parabole {fig» 86) dont l'équation estj''= !ipx^ les axes Ox,Oy^ faisant Fangle a. Le point cherché est sur Taxe de symétrie Ox ; on détermine son abscisse X j>ar le théorème des moments.
Le trapèze élémentaire MM'M', Mj peut être remplacé par le parallélogramme MNNi Mi , dont la surface est ^j- sinada: : la surface du segment est donc
2sina j ydx.
Le parallélogramme MNNiM, a son centre de gravité au milieu de PP'5 son moment, par rapport au point O, est
égal à sa surface multipliée par x H 9 et, en négligeant auprès de or, devient 2X^ sinada?; la somme de»
moments élémentaires est donc
2sin
On a par conséquent
ina I xjàx.
jydx
l)ej*= 'ipx ou tirejd/ =pdr. Substîiuaiit les valeurs de jc et de d X en jr et Ay^ puis désignant par y et x' l'ordonnée et T'abscisse extrêmes AB et OB, on a
J ^ J ip" 10 p'
347. Centre de granité d'une surface plane quelconque dans le cas où les intégrations sont impossibles ou trop difficiles. Soit la surface comprise entre deux parallèles et entre deux courbes AD, BC [fi^g* 87). On partagera la distancé IK en un nombre pair n de parties égales et on mènera les cordes parallèles j-q 9 JKi? Jsî • • • •> Jnt de l'une à l'autre courbe ; faisant IK== /, on aura, parla formule Simpson,
surf ABCD = 5 = ^ (jo -H 4 Jj + ajt -+- . . . + Jn)-
On emploira la même formule pour calculer le moment de la surface par rapport AB. Puisqu'il s^agit de suppléer à
l'intégration de l xyàx^ on calculera les n-f-i valeurs
de xy qui répondent aux points de division de IK, et Ton aura, en désignant par X la distance du centre de gravité cherché à la droite AB,
et
^ / / 4r ■ » I + 2 j2 ■ 2 -f- 4 jTa . 3 4- 2 j4 4 -H . . . ■+> j. /i \ ^ ^\ roH-4rt-*-2j2-h4r3 4-2j4-h.^.-i-r« /
Il restera à calculer sa distance Z à IK, A cet effet, on me-
DE gravité! 2^3
surera la distance du milieu de chaque corde J'oî /i }/«>•• î à la droite IK, et, appelant ces distances Zq? ^n Zj,. . . , on aura
*5^ = J J^da: == ^ ( jo ^o4- 4ji ^1+ 2j, z, -h 4j8 ^8-f- . . -f- J„ 5r„), et enfin
jo 4- 4r. -+• 2 j,4-'4r3 -h ... -h 4r«-i -f-j»
Quand les courbes ne sont pas irès-irrégulières, il suffit de prendre « = 45 et même quelquefois w =: 2.
J{48. Le centre de granité d'une zone sphérique {fig. 88) engendrée par Tare ÂB tournant autour du rayon OE est au milieu de Taxe DC : car si Ton décompose la zone totale en zones élémentaires par des plans équidistants, celles-ci auront leurs aires égales et leurs centres de gravité uniformément répartis sur DC.
S'il s'agissait d'une surface de réi^olution quelconque [fie' ^9)' ^^ appliquerait la formule de Simpson : appelant X la distance du centre de gravité G au point C , X l'abscisse CP d'un point M, y son ordonnée MP et ^ la normale variable MN, on aura, à cause de la similitude du triangle diflFérentiel MM'Q et du triangle MNP,
surf de la zone = | inydsz^ j ar^^do:, son moment par rapport à AC = | aTr^xdx^
donc
y __ f^xdx
ou
/ désignant la longueur CD, et ^q, Çi, Ça , , . . , Ç„, étant les
longueurs des normales telles que MN, menées par les points de la courbe situés sur « -h i ordonnées équi distantes, depuis AC jusqu'à BD.
349. Théorème. La projection sur un plan du centre de grauité G d'une portion de surface plane quelconque est le centre de gratuité G' de la projection de la surface. Soit O y {fig' 90) la commune intersection des deux plans, yi la surface dont il s'agit, A^ sa projection, a l'angle des deux plans. La surface A étant partagée en éléments trèsétroits par des perpendiculaires à Oy, soit a la surface de l'un de ces éléments et soit a' sa projection. En les considérant comme des parallélogrammes de même hauteur parallèle à Oy, on aura
a'=acosa, d'où u4'= A coscc.
Deux éléments correspondants a^ a\ ont leurs centres de gravité en leurs milieux, et ces milieux, étant sur une même perpendiculaire au plan de projection, ont les mêmes coordonnées j:, j^ dans le système des trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz. Cela posé, soient X, JT, les coordonnées de G, X\ F\ celles de G', on aura
AX^'Eax^ A¥=:^ay^ A^X'=^a'x, A'r = ^a'y.
Or, en substituant pour a' et A' leurs valeurs ci^essus, et supprimant le facteur constant cos a, on trouve pour X! et Y des valeurs égales à celles de Xex 1% ce qui démi»ntre la proposition.
L'équation A' •= A cos a donne un théorème de géométrie remarquable dont nous nous sommes servis au n^ 123.
350. Théorème. Les centres de gras^ité de deux lignes, de deux surfaces ou de deux corps géométriques semblables ^ sont des points homolçgues.
DE ghavité. 273
Ou peut (217) supposer les deux figures semblablement placées par rapport à trois axes ooordonnés, de manière qu'à tout point de Tune d'elles dont les coordonnées sont .r, y, z^ réponde, dans l'autre, un point homologue dont les coordonnées sont kx^ kjr^ kz^ la constante k étant le rapport • de similitude.
DiTi90ns la première ligne, la première surfiice, ou le premier corps, en éléments égaux entre eux, dont la valenr soit a et le nombre n ; soient X, JT, Z, les coor-données du centre de gravité, nous aurons, comme à la Note dun°329,
