X./ia = 2aa:, 1^. »a = 2ay, Z . na = ^az\ doù
Divisons la seconde ligne ou surface, ou le second corps, en le même nombre n d'éléments égaux, dont la valeur soit a' 5 et soient X\ Y\ Z', les coordonnées de son centre de gravité. D'après la remarque faite ci-dessus, nous aurons
X^ , rMi'=:E(t'. Arjc, Y*na'^=^Yta* .hy^ Z'w/i'== ^n! ,kz\
d'où
(,). jï'=*25, r=*:^', z'=*lf.
Des équations (i) et (2) on tire
X=JtX, Y'—kY, Z'=kZ, ce qui démontre la proposition.
§ IV. ClNrRBS D£ «RAViTt DBS VOIVHES.
• 351 . Le centre de gravité d'tin parallélipîpède est en son centre de figure. En général tout corps géométrique ayant
un centre de figure a son centre de gravité en ce point. La raison en est la même qu'au n^ 338.
352. Prisme ou cylindre à bases parallèles quelconques . Si on le partage en tranches infiniment minces et égales par des plans parallèles aux bases, ces tranches auront leurs cen- . très de gravité uniformément distribués sur une droite parallèle aux arêtes et joignant les centres de gravité des deux bases. Le centre de gravité du système total est donc au milieu de celte droite.
353. Un corps géométrique étant coupé par des plans parallèles, si les centres de gravité des sections, qui di fièrent aussi peu qu'on veut de ceux des tranches, sont dans un même plan ou sur une même droite, ce plan ou cette droite contient le centre de gravité du corps.
354. Une pyramide et un cône à base quelconque sont dans Iç deuxième cas du numéro précédent : car toutes les sections faites par des plans parallèles à la base sont semblables, et ont leurs centres de gravité, points homologues (350), sur une même droite passant par le sommet. Pour déterminer la position du centre de gravité du corps total , on considère le cas d'une pyramide triangulaire. Prenons A [fig. 91) pour sommet, le centre de gravité G est sur AI , I étant le centre de gravité de la base, et obtenu en
faisant BE = ED et EI = ^EC5 de même C étant pris
pour sommet, G est sur la droite CH obtenue en faisant
EH = I EA. Ainsi IH est parallèle à AC et IH = ^ AC ;
doncGI=^GA ou GI=:-^AL En partageant une pyramide quelconque en pyramides triangulaires ayant mênxe sommet, on voit que les centres de gravité de celles-ci sont
DE GRAVITÉ. a^J
tous dans un plan parallèle à la base, et mené au quart de la hauteur du sommet commun. Donc le centre de grau^ité d'une pyramide quelconque j et par conséquent aussi d^un cône, est sur la droite menée du sommet au centre de gratuité de la base et au quart de cette ligne à partir de la base^
355. Remarques, i^. Si \^fig^ 91 est l'exacte projection (et non la perspective) de la pyramide qu'elle représente, la projection G du centre de gravité s^obtient en faisant sur les lignes de la figure les mêmes opératicms qu'il faudrait faire dans l'espace sur les lignes qu'elles représentent, pour obtenir le centre de gravité lui-même.
2?, Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est aussi celui de quatre corps égaux dont les centres de gravité seraient placés aux sommets A, B, C, D : car le point I est le centre de gravité des trois corps B, C, D^ et le point H est celui des corps A, B, D (40) 5 donc le centre de gravité des quatre corps A^ B, C, D, est à la fois sur AI et sur CH5 il est, par conséquent, à leur intersection.
356. Le centre de grauité d'un polyèdre quelconque peut s'obtenir en le décomposant en pyramides (331 ).
357 . Centre de granité d'un secteur sphérique (Jig- 92). En considérant le sectçur comme composé d'une infinité de pyramides égales, ayant leur sommet commun au centre O et leurs bases sur la calotte ANB, on voit que les centres de gravité de ces pyramides élémentaires sont uniformément répartis sur une seconde calotte anb semblable à la
première et ayant pour rayon les j du rayon OA. Le
centre de gravité cherché est donc celui de cette seconde calotte; il est donc au milieu de pn (340).
Donc
OG = i(Op-+-On)=g(OP-i-0„N).
278 CKIITEES
358. Centre de grainté du segment de paraholcide de révolution (fig. 98) engendré par la surface plane M»M^t loumaïKt autour de A x.
Soient une abscisse quelconque A p = Jk: et l'ordonnée correspondante mp =j'.
Une tranche infiniment mince mm 'm', mi a pour volume TTj' àx^ et pour moment par raj^ort au plan, projeté en Ay, TTj-'xdx. On a doue, en appelant Xx^ Tabscis&e du centre de gravité, X^ et X les abscisses extrêmes AP«, AP,
Xi i j-*dj:= 1 y*xàxi,
le facteur t disparaît, et cette formule est générale pour tout corps de révolution, quelle que soit la courbe génératrice. •
Dans le cas de la parabole dont Téquation est j' = aajr,
on a
2axdx = a(X* — X])^
Jx
2ax^dx = :^alX^ — X\)^
d'où
y 2 X^—Xl !i X'^XX.-hXl 2( XI \
^' — ^X'—Xl"^ Xh-JTo ""aV Jif-^Xo/
Dans le cas du segment à une base MAMi, on & X^= o,
et Jïj = ^ ^=- AP, comme s'il s'agissait du centre de gravité d'un triangle ayant AP pour hauteur. Chi voit que c'est parce que dans les deux cas les tranches perpendiculaires à AP sont proportionnelles à leurs distances au point A.
