V. DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CENTRES DE GRAVITÉ

361. Volume d*un cylindre tronqué à base quelconque. Si le cylindre est droit sur sa base A (fig* 95), soient a un élément de. cette base, et a* l'élément correspondant de l'autre base A^ ^ de sorte que a est la projection de a', et l'on à a =3= a' cos a, A^=. A' cos a (349), en désignant par a l'angle dièdre des bases. Soit j la distance entre rt' et «; le

28o CENTRES

volume du petit cylindi^e ayant pour base a et pour hauteur y sera ay^ et le volume entier sera ^= Sa^, ou bîen

Or 2rt'j^ est la somme des moments des éléments delà base supérieure par rapport à l'inférieure \ donc, en désignant par l^l'ordonnée du centre de gravité de la base supérieure par rapport à T inférieure, on a

d'où

Si les arêtes sont obliques sur les deux bases, le cylindre est la différence de deux autres qui rentrent dans le cas précédent, et l'on arrive à cette proposition générale : Le volume d'un tronc de cylindre est égal à l'aire de sa section droite multipliée par la droite qui joint les centres de grai^ité des deux bases^ laquelle droite est parallèle aux génératrices rectilignes. Exem^ple : Prisme triangulaire tronqué. La distance des centres de gravité est alors le tiers de la somme des trois arêtes (340, Rem.).

362. La surface de révolution engendrée par une courbe plane quelconque AB [fig. 96) se compose de petites zones dont chacune a pour expression ^T:yàs. Or^d^ est le moment de l'arc d^ par rapport à Taxe; donc, en appelant L la longueur de l'arc AB et Y l'ordonnée de son centre de gravité Çj^ on a Faire de la surface de ré^^olution

A = iT:^yà.s= 27rJr.Z,

égale à la longueur de la courbe génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de grauité. Si la révolution n'est pas complète, il ne faudra prendre pour multiplicateur que Varc décrit par le centre de gravite.

DE GRAVITÉ. âSl

263. Le volume engendré par la révolution d'une surface plane AMBm (fig, 97) tournant autour de Taxe KL situé dans son plan se compose de tranches dont chacune peut être considérée comme la différence de deux cylindres. .

Soient -R et r leurs rayons IP, iP*, et soit dx la distance entre Mm et M'm'. Le volume engendré par MM' mm' sera

TT (Jî'^r*) dx = T: [R-hr) (M — r) dx.

Or [B — r) dx est l'aire du trapèze MM'mm'; soit a cette

aire. De plus — ^^^ est l'ordonnée g P du centre de gravité

de cette aîre, sauf ime différence à négliger de plus en plus à mesure que dx diminue 5 soîty cette ordonnée. Le volume élémentaire considéré est 21: ay, c'est-à-dire 2 7r multipliant le moment ay de la surface élémentaire a par rapport à l'axe KL. Donc, en désignant par ^4 l'aire totale AMBm et par Fia distance de son centre de gravité à Taxe CL, on a le volume décrit

égal à Faire de la surface génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de granité. Même modification que ci-dessus si la révolution n'est pas entière.

Ces deux propositions constituent ce qu'on appelle le Théorème de Guldin.

§ VL MOMENTS d'inertie ET RAYONS DE GYRATION DES CORPS