GÉOMÉTRIQUES

364. Si Ton partage un corps géométrique en éléments dont les volumes soient w', m", m'", . . . , et dont les distances

282 MOMESJTS

à un axe soîeut /', r'', r^', . . . , la somme

des produits qu on obtiendrait en multipliant le volume de chaque élément par le quarré de sa distance à l'axe, est" d'une grande importance en Mécanique dans les questions relatives au mouvement de rotation d'un corps solide homogène autour d'un axe fixe auquel aboutissent les distances r.

Celte somme, que nous représentons par Sur*, et qui dépend non-seulement de la figure et de l'étendue du corps, mais encore de la position de Taxe autour duquel ce corps est supposé tourner, s'appelle le moment (V inertie du volume du corps dont il s'agit autour de cet axe ou relatif s^ement à cet axe. On verra en Mécanique 1 origine de cette dénomination. La quantité Sur* peut toujours être égalée au produit du volume total Su par le quarré B} d'une certaine distance R comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs de r. Cette distance, qui satisfait à l'équation

s'appelle le rayon de gy ration du corps homogène ou de son volume par rapport à Vaxe considéré. Sa détermination est du ressort du calcul intégral. Dans les exemples qui suivent, nous calculerons son quarré, qui entre le plus souvent dans les formules de la Mécanique. Nous le désignerons par R^ et le moment d'inertie du volume sera représenté par 1.

365. La détermination du moment d'inertie du volume d'un corps relativement à un axe quelconque est facilitée par un théorème général, au moyen duquel, quand on connaît le moment d'inertie d'un système solide par rapport à vm axe passant par le centre de gravité, on trouve immédia-

D* INERTIE. a83

leraent celui du même système par rapport à tout autre axe parallèle au premier.

Soient {Jig* 98) Oz ce premier axe et AB l'autre axe. Menons Ox perpendiculaire à ces deux droites, et Oy perpendiculaire au plan z Ox. Soit M un point quelconque du système ; appelons x eiy ses coordonnées parallèles aux axes Ox, Oy. Ainsi 0P= x et PC =y> Sa distance MQ ou i\s

à l'axe Oz est égale à OC ou sJx^-^-j^^ et sa distance r à l'axe AB étant égale à AC, on a, en faisant OA= a,

r* =j^ -f- (a — xY =j^ -f- x* H- a* — 2ax = r]-{-a^ — 2 ax,

. ou, en multipliant par m,

équation applicable à tout volume élémentaire u^ pourvu qu'on donne à a: le signe convenable, en le faisant négatif quand le point est derrière le plan y Oz.

Supposant donc qu'on ait écrit autant d'équations semblables à la dernière cpi'il y a d'éléments dans le corps considéré, et les ajoutant, puis remarquant que, puisque Oz passe par le centre de gravité, la somme algébrique 2 //.r est nulle (328), on a

donc le moment d^ineriie du volume d'un corps, par rapport à un axe quelconque, s'obtient en ajoutant à son moment d'inertie par rapport à un axe mené parallèle^ ment à celui-ci par le centre de grav^ité, le produit du volume entier par le quarré de la distance des deux axes.

366. Moment d'inertie du volume d'une barre droite AB, d'une longueur /, et d'une très-petite section a, relativement à l'axe Aj^ qui fait avec AB l'angle a. [fig* 99).

284 MOMBHTS

Soi ont

AP = x, PP'=dx, PQ=r = xsin(Z.

On a

u = aàx \

«sîn'âf.x'dx= asin*a-r;

d'où

^«=4/'siii'a=4BC».

367. Moment d'inertie du volume dune portion d'anneau circulaire AB, d'une très-petite section a, autour du rayon AO (fig» loo). .

AB=:5, M]Vr = d5, PP' = dx, MP=j, AO = |0,

Ilur^^apfjrà..

I j^dj: = aire du segment ABC =-|0 S p*sinacosa^

donc

/= Siir* =-a|0* |S psin 2a

D'ailleurs 2k = a^S: donc

^•=^P*(— ^|sin=^«)

Pour un quart de circonférence on a

in2a = o^ l = -ap^S et R*z=-p'

sin

D INERTIE. !i85

U en est de même pour une demi-circonférence, et pour une circonférence entière.

Le cas particulier du quart de- circonférence s'obtient très-simplement comme il suit. Soient Ox et Oy les deux rayons extrêmes. Le moment d'inertie de T anneau a la même valeur, soit qu'on le prenne autour de Ox, ou autour de Oy. Donc, en appelant x et jr les coordonnées d'un point quelconque de l'arc, on a

d'où

= I aj^ ds et 1=1 ax^dsy 21 = a I (x*-{-j*)ds.

Qr, dans le cas particulier dont il s'agit, on a aussi

donc

I=ap* I ds = ap*S^

donc

I=-ap^S et R*==-p^

368. Moment d'inertie du volume d'un disque cir^ culaire très-mince tournant autour d'un diamètre A6 (fig' loi). Soient son rayon OA = p, son épaisseur = i. Pour l'anneau élémentaire dont le rayon OM est Ç et la largeur dÇ , la quantité Sur* serait , d'après le numéro précédent ,'

i?^2frÇ6dÇ;

donc pour le disque on a

286 MOMEMTS

2w==7rp'i; donc R*=jp'.

Autrement, Prenons pour axe des y U droite AB relativement à laquelle on cherche le moment d'inertie du disque, et traçons dans son plan Taxe Otl rectangulaire sur AB.

Appelant x el j les coordonnées d*nn élément du disque, la quantité Z<fr^ prise autour d'un diamètre quelconque sera exprimée à volonté soit par "Lux^^ soit par 2i/^'.

On a donc

I = 2«x* et I = 2i^*;

d'où , en ajoutant et appelant Ç la distance d'un élément quelconque au centre O , on tire

I = i2i£(a:*-h/'), ou I = -2a|'.

Maintenant, pour un anneau élémentaire dont le rayon OM est g et la largeur d g, la quantité Su ^* serait 5*. 2 71 6dÇ. Donc pour le disque entier on a

I = 7ri r'eàl = lT:bp\

comme ci -dessus.

360. Moment d'inertie du volume d'^un cylindre droit à hase •ewcuiaire autour de l'axe de figure. Soient son rayon = p, sa longueur = /.

Pour le volume élémentaire compris entt« deuK surfaces cylindriques dont les rayons sont Ç et Ç -f- d | la quantité

^ur"^ serait

donc pour le cylindre entier on a

1=27:1 r^fd|=:i7r/|o\

Jo ^

d'inertie. 287

D'ailleurs

2M = 7:p'/; donc R^ = -p*.

La même formule finale existe pour un secteur tournant dans son plan autour de son centre.

370. Moment d'inertie du volume d^ une jante à section rectangulaire par rapport à Taxe de figure. D'après le numéro précédent, on a, en considérant le corps comme la différence de deux cylindres dont les rayons sont p et p',

On peut, au lieu des rayons p et p', introduire le rayon moyen pi = ^ ^ et la largeur b = p — p'.

On a

4PÎ = P' + P'' + 2PP'. h'=p'-hp''-opp'',

d'où, en ajoutant, donc

371 . Moment d'inertie d'un cône droit à base cîrculaire par rapport à l'axe de figure. Rayon de la base = p, hauteur = /.

Pour un disque élémentaire on aurait (369)

2«r* = -7rj^*dx^

28$ UQ-NtEUTS

doDc, pour le cône entier, en mettant pourj^ sa valeur ^ 9

I=-T[ 1 r*da: = -7r ■£- / x^dx = — ttû*/.

^ J ^ ^ Jo ^^

D^ ailleurs le volume

donc

R* = — pV

372. Moment d'inertie du volume d^un segment sphélique autour du diamètre perpendiculaire à la base. Rayon de cette base = p , flèche = a.

Pour une tranche élémentaire on aurait (369)

2iir" = -7rj^*da:.

j*= 2px — x*; d'où

Donc pour le segment sphérique on a

1^-Tz f (4p«a:* — 4pjr'H-a:*)dx

Quant au volume, il est

Î7= / TTj'do: = TT / (2px — x*)dx = 7r Ipa* — ^ J ^

d'où

p, / a 20 p^ — i5pa-|-3a'

d'inertie. 289

Pour une demi-sphère, on a

La même formule finale s'applique à la sphère entière, et on l'obtient directement par un moyen ajialogue à celui de la fin des n°» 367 et 368.

La sphère étant rapportée à trois axes rectangulaires me- • nés par le centre et autour de chacun desquels le moment d'inertie de la sphère entière a la même valeur, on a

d'où , en appelant ^ la distance d'un élément de volume u au centre de la sphère, on conclut

Pour une couche sphérique dont le rayon est J et Tépaisseur d| la quantité 2aJ* serait ^'.4'rS'dJ. Donc pour la sphère entière on a

2Ht' = 4~jf''rd?=|v;

donc

a aussi

donc

2//=^7rp«.