LIGUES

d^on angle aOx, cette doonée, d'où Ton dédnit. à Faide des tables, Taugle aîgo de Ou, soit avec Ox, s<Ht avec son prolongement n^atif , ne suffit pas pour ûdre connaître eomplélenient la direction de la droite Ou dans le plan xOy. En effet,

1^. Soit donné sina. Si l'on prend arbitrairement le rayon r ou OM {fig. 6), on aura

r sin a.

On connaîtra donc Tordonnée du point M, intersection de la droite cherchée, et du cercle dont le rayon est r. Or deux points M', M^, ou M^, M^^ (selon que sin a est positif ou n^atif), jouissent de cette propriété. On voit que les deux angles AOM^, AOM''', positifs et plus petits que deux droits, qui ont le même sinus positif, valent ensemble deux angles droits; ils sont suppléments l'un de Tautre. En général, le même sinus appartient à deux droites symétriquement placées par rapport à l'axe Oy.

0^. Soit donné cosa. On aura

x = r cosa,

et l'on connaîtra ainsi l'abscisse du point M. Or deux points M', M'^, ou M'', M'^ (selon que cosa est positif ou négatif), jouissent de cette propriété, et le même cosinus appartient à deux droites symétriquement placées par rapport à Vaxe Ox.

3**. Soit donné tanga. On aura

J=tanga,

et il sera aisé de trouver sur la demi-circonférence positive un point qui satisfasse à cette condition : ce sera par exemple M' ou M", selon que tanga sera positive ou négative. Mais, l'un ou l'autre étant trouvé, le point diamétralement

TRIGOMOMÉTBIQUES. 23

opposé ayant dès coordonnées de même grandeur et de signes contraires satisfera également. Ainsi, selon que tanga sera positive ou négative, les droites OiW, OM'", ou les droites OM^, OM''', satisferont à cette donnée. En général la même tangente appartient à deux droites dirigées en sens contraires.

38. Il résulte de ces considérations, et des définitions du n° 32, que, si deux droites différentes font avec Ox des angles ayant le même sinus, leurs cosinus sont numériquement égaux et de signes contraires, et il en est de même des tangentes. En général, à une même valeur de Fune des lignes trigonométriques sinus, cosinus, tangente, répondent, pour chacune des deux autres, deux valeurs numériquement égales et de signes contraires.

39. Cette propriété peut être démontrée algébriquement d'après les équations générales

• ^ /jQ ly

sina=-> cosa = -9 tanga = -i j'*-f-x* = r',

r 1 OC

qui donnent

. , , sina

sin' a -i- cos' a = i , tanga = •

° cosa

Si sina est connu, on obtient

cos

a = rb V I — sin* a, taug a s=

sma

±sli — sin^a

les deux signes supérieurs ou les deux inférieurs devant être pris simultanément.

Si cosa est connu, on a de même

i / r~ ±:v/i— cos'a

sina=:=t:vi — cos' a, tançai •

Enfin, si tanga est connue, on a, en éliminant d'a^bord