DIRECTION
sîna,
cos'a (tang* a -f-i) = ij d'où
tang OL
cos et = — > sin a
±V^i -htang'a ±^1 -hlang'a
Ces formules ont lieu quel que soit Tangle a, positif ou négatif. On les retrouve rapidement au moyen des deux triangles semblables OM'P, ON'A de la fig. 6, en faisant
OA==OM'=i,M'P=sina, OP = cosa, AN' = tanga,
ON' = séccc :?= v^n-tang*a.
Une des quatre dernières lignes suffit pour déterminer chacune des trois autres \ et quand l'expression obtenue comporte un radical, on lui donne pour la généraliser le double
signe ±.
40. On conclut aisément de ce qui précède qu'e^ji général, étant donnés le signe et la grandeur d'une des trois lignes trigonomé triques principales d'un angle uOx, et le signe seulement de Tune des deux autres, la direction Ou, dans le plan xOy, est complètement déterminée.
4**. Direction d'une droite hors des plans coordonnés.
41. Considérons maintenant le cas ou la droite Ou, dont il s'agit de définir la direction , n'est dans aucun des plans coordonnés, et supposons , pour plus de simplicité , que ces plans soient perpendiculaires les uns aux autres
Prenons encore sur la partie positive de la droite Ou, un point M, à une distance r de Torigine O, et appelons a?,j^, Zy les coordonnées de ce point; il est évident que la direcûbn Ou sera connue si Ton connaît les rapports
d'une droite dams L*ESPAGE. 25
- 5 - > - (rapports algébriques, c'est-à-dire positifs ou négatifs, chacun étant de même signe que son antécédent) : car, en prenant r à volonté, on en conclura les valeurs des trois coordonnées, c'est-à-dire leurs longueurs et leurs sens^ ce qui déterminera la situation du point IM (13).
La droite MP qui joint l'extrémité de r à l'extrémité de l'abscisse x, .est perpendiculaire à Ox. Il s'ensuit que x serait également l'abscisse rectangulaire du point M dans le plan xOu.
On a donc (32)
■j;=cos (u, x); et de même
^=cos(u, y), ^=cos(u,ai).
Ainsi la direction de la droite Ou est déterminée par les cosinus des trois angles quL elle fait ai^ec les trois axes coordonnés.
42. Ces trois cosinus ne peuvent pas être pris arbitrairement.. En effet, on a entre les coordonnées rectangulaires a:, /, z, du point M, la relation (19)
a:* -h y' -h -8* = r' ou
qui, lorsqu'on y substitue les valeurs du numéro précédent, devient
cos* (tt, x) -h cos* («, y) 4- cos' (m, z) =si.
Cette équation exprime un théorème qu'il importe de retenir.
26 EXP&ESSIOItf
Il en résulte cette conséquence que, lorsque Ton se donne les cosinus des angles qu'une droite Ou fait avec deuT des axes coordonnés rectangulaires, il ne reste d'indéterminé que le signe du cosinus de son angle avec le troisième axe.
43. Remarque. Donner le cosinus de Fangle qu'une droite fait avec un axe, c'est faire connaître une nappe de surface conique de révolution sur laquelle se trouve cette droite. Si l'on donne deux cosinus relatifs à deux axes différents, la droite est l'une des deux génératrices d'intersection de deux nappes coniques déterminées; il suffit, pour compléter la détermination de la droite, de savoir si l'angle qu'elle fait avec le troisième axe est aigu ou obtus, et c'est ce qu'apprend le signe de son cosinus.
§ III. EXPRESSION TRIG0N0M£TRIQU£ DE LÀ PROJEGTIOTï ORTHOGO- NALE d'une DROITE ou d'uN CONTOUR POLYGONAL SUR UN AXE.
44. Soient deux axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy (fie' ^) ®^ soient, dans le même plan, deux points M', M'', dont les coordonnées sont x\ y', x", y". Les projections x" — x'^ y" — y\ de la droite M'M", peuvent être exprimées en fonctions de la longueur M' M'', et de l'angle que cette droite, prise dans le sens M' M'', fait avec Ox.
En effet, si l'on mène M'X et M'Y, parallèles à Ox et à Oy, et de même sens, les coordonnées Xy V, du point M, par rapport à ces nouveaux axes rectangulaires, seront des mêmes grandeurs et des mêmes signes que les projections x" — x^^y"—y\ et l'angle de M'M'' avec M'X sera de même grandeur et de même signe qu'avec Ox. Or, par les définitions du n® 32, on a, en faisant M'M" == m,
X= w. cos (u, X), J^= w sin (u, X).
Donc, si l'on représente par (u, x) l'angle que la droite
