TRIGONOMÉTRIQUE DES PROJECTIONS

M'M" fait avec l'axe des x, on a pour les projections orthogonales de M' M''

j!' — x'= i£Cos (u, x), y — y = Msin(u, x).

On remarquera qne, dans ces formules, les lettres x", a/, y, y^ des premiers membres, représentent des longueurs affectées de signes : la lettre u, hors de la parenthèse, est une longueur seulement; les lettres u et x, dans la parenthèse, désignent la droite M' M'' et Taxe de projection, considérés quant à leurs directions.

jd* — ii/= u cos (u, x)

est également vraie pour la proj^tion orthogonale d'une droite sur un axe Ox qui ne serait pas dans un même plan avec la droite, pourvu que par Y angle des deux droites quelconques dans Vespace on entende V angle quon obtient en faisant partir d'un point quelconque deux côtés parallèles à ces droites , et de même sens quelles.

En effet, la projection orthogonale P'P' [fig. 9) de la droite M'IVF sur l'axe Ox s'obtient en menant par M' et M" deux plans M' CP, M'^CF', perpendiculaires à Ox, et le rencontrant en V et P'. Si, par M', on mène M'X parallèle à Ox, et de même sens, la projection M'N ou X, de M'M'^, sur ce nouvel axe, sera de même loijgueur et de même signe que V P'', puisque ce sont deux parallèles de même sens comprises entre deux plans parallèles. Or, la ligne projetante M''N étant perpendiculaire à M'N, on a, comme au numéro précédent,

M'NouX=Mcos (u, X),

donc

x'' — x'= tt cos (u, x);

c'est-à-dire que la projection orthogonale d'une droite sur

a8 EXPRESSION

un axe quelconque est égale ( même grandeur et même signe ) au produit de la longueur de cette droite par le cosinus de r angle qii elle fait avec Taxe.

46. De cette proposition, et de celle du n^ 22, on tire la conséquence suivante, dont nous ferons un fréquent usage :

Théorème. Si un chemin polygonal M' M'' M'"... M conduit du point M' au point M, la somme algébrique des produits des chemins rectilignes partieh M' M'', WM"^..,^ multipliés chacun par le cosinus de F angle qti il forme avec un axe quelconque^ est égale à la projection orthogonale du chemin direct M' M sur le même axe.

La formule qui renferme ce théorème est

X — x' = i/ cos (u', x) -}- m" cos (u'', x) -t- tt'" cos (u"\ x),..

et s'exprime en abrégé par

X — a/ = 2 licos (u, x),

en remplaçant par la notation 2 le mot somme appliqué à une suite de termes semblables, et en désignant par u la longueur de chacun des côtés du contour, dont Tangle (u, x) avec Taxe doit être pris en ayant égard au sens dans lequel ce côté est décrit.

47. La formule du n? 45, étant appliquée aux projections d'une droite u sur trois axes coordonnés rectangulaires, donne

x" — x" = u cos (u, x),

/ — y =MCos (u, y),

z" z' =M cos (u, z).

En y joignant l'équation du n** 24

(x^'—xfy -H (f—yy -^ {z"—zy=u\

on voit qu'il suffit de connaître les longueurs et les signes

TRIGONOMÉTRIQDE DES PROJECTIONS. 29

des trois projections x!' — ^',y — ^ ^ z" — z'^ pour en conclure la longueur li, puis les grandeurs des trois cosinus^ qui ont d'ailleurs les mêmes signes que les projections.

48. Problème. Connaissant les coordonnées x, y, z, iTun point M relativement à trois axes coordonnés quelconques Ox, Oy, Oz, trousser V abscisse orthogonale X du même point y comptée à partir de la même origine O, sur un axe OlL^Jaisant^ auec les trois axes coordonnés^ des angles connus.

L'abscisse x et deux parallèles aux coordonnées j^, z, forment un chemin polygonal conduisant de l'origine O au point M (14), et la somme algébrique de leurs projections orthogonales sur OX est égale à X^ projection de OM sur le même axe (22). Diaprés cela, supposant les coordonnées X, r, ^, positives, on a (46)

X=a:cos (x, X)-\-jr cos (y, X) -h z cos (Z5X),

les parenthèses indiquant les angles du nouvel axe OX, pris dans son sens positif, avec les trois coordonnées, ou, ce qui est la même chose, avec les trois axes coordonnés, pris dans leur sens positif. Maintenant, si Tune des coordonnées, x par exemple, était négative, il est clair que sa projection devrait avoir un signe contraire à celui quelle aurait eu dans la première hypothèse; or il suffit, pour cela, dans le produit X cos (x, X), de donner à la valeur particulière de x, premier facteur de ce produit , le signe qui lui appartient d'après son sens, et d'entendre toujours par la notation (x, X) l'angle des axes Ox, OX, donné d'après l'énoncé de la question.

49. Problème. Connaissant les angles que deux droites quelconques ou leurs parallèles de même sens OX, OY, font avec trois axes rectangulaires O x, Oy, Oz, trouver le cosinus de V angle (X, Y) des deux droites entre elles.

3o FOItMULBS

Sur la parlie positive de la droite OY prenons une longneor OM désignée par 1^; sa projection orth<^naIe, ou Tabscisse du point M sur la droite OX, sera

X= rcos (X, Y),

et les coordonnées x,y, 2, du même point M, seront

x = Jrcos (Y, x), ^=^€05 (Y, y), z = Y cos (Y, z).

La substitution de ces expressions dans l'équation du numéro précédent donne, le facteur Y étant supprimé,

cos (X, Y) r= cos (X, x) cos (Y, x) -h cos (X, y) cos (Y, y)

cos (X, z) cos (Y, z).