IV. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE PLANE

51 . Théorème. Deux angles a, — a^ de même grandeur et de signes contraires^ ont le même cosinus^ et des sinus de même grandeur , mais de signes contraires.

En effet, si x et jr sont les coordonnées de l'extrémité M de l'arc de rayon rqui mesure l'angle a, et si x' et y' sont les coordonnées de l'extrémité M' de l'arc de même rayon qui mesure l'angle — a, il est aisé de voir que, les deux points M, M' étant symétriquement placés par rapport à l'axe desx, on a

' xr=zoc! et y =^ — ^j',

DE TRIGONOMÉTHIB PLANE. 3l

ce qui, d'après les formules

x'=rcos ( — a), y=:=tsin ( — a),

conduit évidemment à la double proposition élancée, savoir :

sin ( — a) = — sina, cos ( — aV^cosa.

52. Corollaire. Des équations jp==x' et j^= — j^', on tire, d'après les définitions du n° 32,

tang( — a) = — tanga, cot( — «) = — cota, sec ( — a) = séc a, coséc( — a) = — coséca.

53. Théorème. St la somme algébrique de deux angles vaut un angle droit positif y ou, en d'autres termes, si deux angles sont algébriquement compléments Vun de Vautre,^ le sinus de Vun de ces angles est égal au cosinus de r autre.

C'est ce qu'exprime Tune ou l'autre des équations

sina = cos(90^ — a) et cosa = sin(9o° — a),

a étant un angle quelconque, positif ou négatif, d'une valeur absolue plus petite ou plus grande que 90**, mais l'un des angles a et go*^ — a étant nécessairement positif.

Démonstration, i^. Si les deux angles sont positifs, et qu'on ait a-ha'= 90**, chacun d'eux est plus petit qu'un angle droit. Il faut démontrer qu'on a

sina = cosa', cosa=sîna'.

Soit a {fig. 6) l'angle M'Ox 5 a' est donc égal à M'Oy. On a, par les définitions du n° 32,

yz=tsin<x^ a' = rcosrt.

Mais X peut être considérée comme ordonnée M'Q, et y

comme abscisse OQ, du point M^^ et, puisque la droite O'M fait, avec Taxe des abscisses, dans ce cas, Tangle a', on a

x=rsina', j' = rcosa'.

On* tire de ces quatre équations les relations énoncées. •

2®. Si l'un des angles est négatif, et qu'on ait a' — ol"=^qo^^ en désignant par a' et a" àes valeurs absolues, il faut démontrer qu'on a

sina' = cos ( — a") et cosa' = sin ( — a"),

ou, ce qui revient au même (51 ),

sin a ' = cos a" et cos a ' = — sin a."

pour des angles absolus a', û/', dont la différence a' — a" est de 90**, c'est-à-dire que, si la différence de deux angles vaut un angle droite le sinus du plus grand est égal au cosinus du plus petite et le cosinus du premier a la même valeur numérique que le sinus du second^ mais un signe contraire.

Pour le démontrer, soit {fi^- 10) M"Ox = a", le plus petit des deux angles, et M'Ox =a', qui excède a'* d'un augle droit. Quels que soient d'ailleurs ces deux angles, les deux points M'', M', sont aux deux extrémités d'un arc de 90°, sur une circonférence ayant l'origine des coordonnées pour centre^ d'où il est facile de conclure, en examinant tous les cas possibles, que l'ordonnée d'un quelconque de ces points a la même grandeur absolue que l'abscisse de l'autre; mais que l'abscisse du point M', le plus avancé des deux sur la circonférence, est de signe contraire à l'ordonnée de l'autre point M'', tandis que l'ordonnée de M' a le même signe que l'abscisse de M". Ainsi

y'=zx" et x' = — j".

DE TAlGOirOMÉTRIE PLANE. 33

Or, en substituant dans ces équations les valeurs générales

y'=rsin(x\ af=rcosa\ x'' = rcosa'', y^=rsina",

on arrive aux relations qu'il fallait démontrer :

sina' = cosa'' et cosa' = — sina''.

54. Corollaire I. Si la somme algébrique de deux angles vaut un angle droit positifs le produit de leurs tangentes est égal à l'unité, ou, ce qui revient au même, la tangente de Vun est égale à la cotangente de t autre •

En effet, a et a' satisfaisant à Téquation

les relations

sina —

cos a',

cos a

"— sina

tanga —

sina

cos a

tanga'

sina'

COSa'

conduisent à

tanga tanga'

ou tar

iga=c

Corollaire II. Si la différence de deux angles vaut un angle droit positifs le produit de leurs tangentes est égal à — I.

En effet, de a— ^a' = 9o® on conclut

sina = cosa', cosa = — sina', d'où, en divisant,

tanga == — — -; , ou tanga tanga' = — i .

55. Prorlème. Trouver les expressions de sin [a ± b) et de cos [a±b) en fonctions de sina, cosa, sin& etcosi»

Soient deux axes rectangulaires Ox et Oy, dont le second fait avec le premier un angle droit positif, et soient

dans le même plan deux droites OA et OB, qui fout avec Ox deux angles quelconques, positifs ou négatifs. Posons xOA =a et xOB = i, et appliquons la formule générale du n° 49, dont le dernier terme disparait, parce que Taxe Oz est perpendiculaire aux droites OA et OB. L'angle de OA avec OB étant, dans tous les cas possibles (31), exprimé par la différence a — ft, nous avons (49)

cos (a — b) = cosa cosi-f-cosAOy cosBOy.

Or il est aisé de voir, en faisant au besoin une figure où Ion donne soit à OA, soit à OB des directions qui embrassent tous les cas possibles, qu'on a toujours

AOy=±:(9o« — fl) et BOy= ±(90° — è),

et par conséquent (51 et 53)

cosAOy=sina et cosBOy = cosè.

L'équation ci -dessus devient donc

cos [a — b) = cosa cos A -h sina sini,

et répond à l'une des parties de la question proposée.

En remplaçant dans celte formule b par — i, on a avec la même généralité

cos (a -1- i ) = cosrt cos b — sin a sin b.

Pour obtenir sin (/ï-f-è), il suffit de remarquer (53) que cette quantité est la même que cos (90° — a — i), et d'appliquer la formule de cos (a — b) en remplaçant a par 90° — a, et conséquemment cosa par sin a, et vice versa. On obtient ainsi la formule générale

sin (a-+-è) =sinacosfe -h cosa sin &, et, en y remplaçant b par — è,

sin (a — è)== sina cos i — cos a sin i.

DE TRIGOUOMÉTRIË PLANE. 35

Les quatre formules qui précèdent, et dont une quelconque permet de conclure les trois autres, se résument ainsi :

sin (a±b) = sinû cosA±: cosa sini, cos (adzb) = cosrt cosè if: sin a sin b.