DONNEES

a", fl , b,

ô = «8inB, c=:flcosB.

sinB ou cosC= -; c=}/[a-\-b)[a-'b)\ à posteriori c = a cosB ou c = b tangC.

tangB= -;

à posteriori a

cosB

ou a

sinB

63. Les tables trigonomé triques en usage donnent les logarithmes des lignes ou rapports trigonométriques , au lieu de leurs valeurs numériques. I) en résulte l'avantage de n'avoir à faire que des additions et des soustractions pour appliquer les formules ci-dessus. Nous expliquerons plus loin Tusage qu'on fait de ces tables.

a°. Résolution des triangles obliquangles.

64. I®'^ Cas. On donne les angles et un côté a , en désignant parmi les angles connus V angle A opposé à ce côté*

Du sommet C abaissons (^g^. ii) la perpendiculaire A sur le côté opposé c , et , soit que les angles A et 6 soient aigus , ou que Tun d'eux soit obtus , nous aurons

ArrzflsînB, A = /;sinA, ou

^sinB

sinA

L'équation générale TT = -r—p démontre ce théorème:

Dans un triangle rectiligne quelconque^ les sinus des an-- \ 8^^^ ^^^^ proportionnels aux côtés opposés.

65. IP Cas. On donne deux côtés, a et è, et V angle A, opposé à l'un d^eux , a.

D'après le théorème précédent, on a

. „ AsinA

sinB = j

puis

C = i8oo— (A + B) et c = ^|î2j2.

^ ' smA

Au plus petit des deux côtés <z, &, est opposé le plus petit des deux angles A, B. Donc, si a>è, B est aigu, son sinus suffit pour le déterminer; il y a toujours une solution.

Sia<^b, l'angle A donné {fig. 12) est aigu; B peut être aigu ou obtus pour le même sinus. Donc il y a deux solutions , pourvu qu'on trouve

. r> ^ ^sinA .

sinB*^! ou <ri,

on a^b sinA, c'est-à-dire a^h.

Si Ton demandait immédiatement le côté c, il faudrait poser

c = AD ziz DB =b cos A dz ^a^' — b^sm^A.

66. IIP Cas. On donne deux côtés ^ a, i, et V angle compris C.

1^. On demande à priori le côté c.

Soient X ex, y les coordonnées rectangulaires du point B {fig. i3), CA étant pris pour axe des a: et C pour origine ;

X est négative si l'angle est obtus. Dans tous les cas on a

c^=j-^ -f- {b — .r)% y^=za^ — x^, x = a cosC. Les deux prcmicrrs équalioj»s, ajoutées membre à mem-

DES TRIANGLES RECTILIGNES. /\i

bre, donnent la relation connue en géométrie élémentaire

c* = a* 4- i' — 2 ix 5 et, en y substituant l'expression de j:, on a

c' = «» -h 6* — 2 ai cos C.

c étant ainsi déterminé, on rentre dans le premier cas (64).

7? On peut déterminer à priori l'angle A par sa tangente. Soit que C soit aigu ou obtus, et quelle que soit aussi la grandeur de Â, on a

X «sinC

tangA

b — X b — «cosC

La grandeur et le signe de tangA faisant connaître A, et par suite B^ on rentre dans le premier cas (64), et Ton calcule c par Tune des deux formules suivantes :

asinC ôsinC

smA smB

Il est bon de vérifier si les angles A, B, trouvés» satisfont à la condition (64)

sinA sinB

3°. Autre solution ^(j^u* on présente ordinairement comme plus propre à l'emploi des logarithmes, quoiqu'elle n'exige pas moins de calculs que la précédente pour arriver aux inconnues A, B et c.

C fait connaître A -t- B -, on cherche A -— B.

De la relation

sinA a

on conclut

sinB b

sinA — sinB a — h

sinA-f-îvïnB a-\-b