DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE
deux points M et M' se réunissent dans l'espace en un point, dont la projection est l'intersection N, et dont la distance à ce point est l'ordonnée d'une circonférence ayant son centre en P et son rayon égal à PM. En rabattant cette circonférence autour de MN, et achevant le triangle rectangle PNMi 5 on obtient non-seulement la distance NMj , dont nous venons de parler, mais l'angle rectiligne MjPN qui mesure l'angle dièdre des deux faces b et c, angle que nous désignons par A, comme opposé à la face a.
La construction que nous venons de rappeler^ et qui est enseignée dans les traités de Géométrie descriptive, se traduit très-aisément en une formule de Trigonométrie. Menons PQ perpendiculaire à OP' et NR parallèle et égal à PQ. Posons OM = OM' = r. Nous avons, en remarquant que PN = PMi cosA, et PMi = PM = rsinc,
rcosa = OP' = OQ + RN =:OPcosi + PNsini = r cosc cosb -\- rsinc cosA sinb.
Ainsi, en supprimant le facteur r, que nous aurions pu à ^non faire égal à i, nous obtenons la relation cherchée, qui s'applique évidemment à un quelconque des trois angles dièdres. On a donc, au moyen d'une permutation tour^ nante^ dans laquelle les lettres se remplacent dans Tordre a^ b^ c, a,
[ cosa = cosi cosc + sine sine cos A, (i) < cosi = cosc cosû -f- sine sinacosB,
cosc= cos a cosi 4- sin« sinJ cosC.
71. a°. Relation entre deux côtés a, c et les angles opposés A, C. On peut conclure celte relation des équations précédentes \ mais on l'obtient immédiatement d'après \aL fig. 1 4, dans laquelle le triangle P'NMj , analogue à
PNMi, donne Tanglc dièdre C, opposé à la face c. On a
c'est-à-dire
r sînc sin A = r sina sinC.
DonC) en général,
sin A sinC sinB
sina sine sin 6
72. 3°. Relation entre deux côtés b et c, t angle A quHh comprennent^ et un autre angle C ou B. Soit à trouver une équation entre £, c, A et C. On Tobtiendrait en éliminant a entre deux des équations (i); mais plus simplement, d'après la fig.i^y en remarquant qu'avec les données i, c, A, on. pourrait construire OMP, PNMi, NP', et par suite NP'M^, on a
