NM
NF "" PQ — PiNcos6
sine sin A
cos c sin b — sine cos A cos b
ou bien
cotC sînA = cote siui — cosi co^.
Oh a de même, eu égard aux permutations possibles :
coiB sin A = coti sin i* — cos e cos A, cotA sinB = cota sine — cose cosB, (3) { cotC sinB = cote sina — cosa cosB,
cotB sinC = coti sina — cosa cosG, cot A sinC = cota sini — cosi cosC.
73 Triangles ou trièdres supplémentaires. La proposition que nous allons exposer sert à obtenir une relation entre les trois faces et un des angles dièdres d'un an**
DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQDE. 49
gle trîèdre. L'équation qui Texpriine peut, il est vrai, se déduire des équations (i) par Télimination de deux faces; mais on y parvient d^une manière plus simple et plus facile à fixer dans la mémoire par la considération d'un trièdre auxiliaire.
Quel que soit le premier trièdre OABG [fig. i5), abaissons d'un point C, pris dans son intérieur, une perpendiculaire sur cliacunede ses faces, savoir : O'A' perpendiculaire sur la face BOC ou a, O'B' sur la face COA ou i, O'C sur la face AOB ou c.
Nous formons ainsi un second angle trièdre, dont le sommet est O', et dont les faces rencontrent celles du premier suivant lés droites A'B, BC, C'A, AB', B'C, CA'. Il en résulte un hexaèdre, dont les sommets O et O' sont diagonalement opposés, et qui deviendrait un parallélipipède rectangle dans le cas particulier où le trièdre primitif aurait chacune de ses trois faces égale à un angle droit.
Par construction, les trois arêtes O'A', O'B', O'C du second trièdre sont perpendiculaires aux faces a, &, c du premier. Il s'ensuit que, réciproquement, les trois arêtes OA, OB, OC du premier, sont perpendiculaires aux faces a', b\ c' du second ( nous désignons ainsi les faces respectivement opposées aux arêtes O'A', O'B', O'C). En effet, par exemple la face a' ou B'O'C étant perpendiculaire au plan OAB'C (à cause de la perpendiculaire O'B') et au plan OAB'C (à cause de la perpendiculaire O'C), est par conséquent perpendiculaire à leur intersection OA.
De là cette conséquence importante : que les faces de chacun des deux trièdres sont, quant à leur mesure, les suppléments des angles dièdres de l'autre , car, par exemple, la face B'O'C ou a' étant perpendiculaire à VarêteOA, l'angle dièdre C'OAB' ou A a pour mesure l'angle rectiligne C'AB', lequel est supplément de l'angle B'O'C, puisque les angles O'C A, O'B' A sont droits.
5o FORMULES DE tlllCONOltÉTRIE SPh£RIQI:E.
En généralisant celte remarque, ou voit que si
a ^ b ^ c sont les faces du premier trièdre,
A, B, C les angles dièdres qui leur sont opposés, «
a', b\ c' les faces du deuxième trièdre respeclî veinent peipendiculaires aux arêtes des angles A, B, C,
A', B', C! les angles dièdres opposés aux faces c/^ V ^ c\ on a entre les mesures en degrés de ces angles les relations :
i8o« = AH-a' = B-|-i' = C + c' = A'-ha =B'+& = C-f- c,^
C'est en venu de cette propriété que les deux angles trièdres sont dits supplémentaires Tun de l'autre.
11 e$i clair qu'à deux triédres ainsi constitués répondent deux triangles sphériques^ dont les côtés et les angles ont les mêmes valeurs numériques, et par conséquent les mêmes relations que les douze quantités que nous venons d'écrire. Ces triangles sphériques sont dits supplémentaires l'un de Tautre.
74. 4^« Relation entre les trois angles et un côté rTun triangle sphérigue. C'est celle qui existe entre les angles dièdres A, B, C d'un trièdre et la face opposée à Pun d'eux -, et elle se rattache à celle qui a lieu entre les trois faces a', 6', c' du trièdre supplémentaire et l'angle dièdre opposé à l'une d'elles.
Les formules (i) du n° 70, appliquées aux angles a', h\ c\ A', B' et C qu'on remplace ensuite par leurs valeurs i8o^— A, i8o*>— B, i8o^— C, i8o°— a, i8o°— t, i8o«— c, deviennent, par changement de signes des deux membres :
cosA = — cosB cosC H- sinB sinC cosa, (4) {cosB = — cosCcosA -h sinC sinA cosi,
cos C = — ces A cos B -h sin A sin B ces c.
RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÊRIQUÉS. 5l
Résolution des triangles sphériques.
75. Les six cas différents deviennent analogues deux a deux par la considération du triangle supplémentaire.
P*^ Cas. Sont donnés les trois côtés. Les équations (i) déterminent les cosinus des angles.
n® Cas. Sont donnés les trois angles. Les trois équa* tions (4) font connaître les cosinus des côtés.
nP Cas. Sont donnés deux côtés et F angle compris. L'une des équations (i) détermine le cosinus du côté inconnu. Le reste du calcul rentre dans le P*^ Cas.
On peut rendre l'équation (i) plus propre à Temploi des logarithmes au moyen d'un angle auxiliaire. On a successivement
cosa = cosJ (cosc -\- sine tang& cosA) = cosi (cosc -h sine tang^)
cos6 , . • • V
= s (coscp cosc -h sino sine),
COSf ^ ^ ^ '
de sorte que l'angle a est détenniné par .les deux équations
très-simples
tangf) = tangé cosA et
cosb , .
cosa = cos (e — cp).
cos <p ^ • '
IV* Cas. Sont donnés deux angles et le côté compris^ L'une des équations (4) fait connaître le cosinus de l'angle inconnu; le reste rentre dans le IP Cas.
On peut faire subir à Téqualion (4) une transformation analogue à celle qui vient d'être indiquée pour l'équation (i).
V* Cas. Sont donnés deux côtés a, b et Vangle A o/?-
posé à Vun cl eux. La formule ['i) serl à calculer Tangle B opposé au second côlé donné.
Pour calculer Tangle C au moyen des donnéfîs a, b et A, on a Tune des équations (3) :
cotA sinC -hcosi cosC = cota sini;
mais cette équation, n^étant pas immédiatement applicable^ parce qu^elle contient deux inconnues, sinC et cosC, on la transforme au moyen d'un angle auxiliaire ^. On a successivement
cota sinft = cosi f j-sinC H- cosC
\ coso
= cosi (tangf sinC -|- cosC) = (sino? sinC H- cosopcosC)
COS<p ^ ' ^ '
cos6 .^ .
= cos (C — ç).
COS<p ^ ^'
En définitive, Taugle C se trouve délernii né par les deux
équations très-simples
cot A
tanscp = r
^^ cos^
et
cos (C — ?) = cota tangè cosy.
C étant connu, ainsi que A et a, on trouvera c par la formule (2).
On peut aussi calculer le côté c directement en partant de la première des formules (1), qu'on remplace par le système de deux équations
cot (p' = tang b cos A , et
siu (c -f- 9') = j-^ .
^ ' ' cos 6
