INCONNUES
FOBMULES A EMPLOYER.
COStf = ces ^ CCS C,
sinb = sinasinB,
tang^ = tangacosC.
sin^ — sinasinB,
twigc^ tengflC0«B,
cosfl — cotBootC.
sinb — sinasifiB,
tang^ — sinctangB,
cosB = sinC cos^.
tang^ = tanga cosC ,
tangcrr sin^tangC,
cosB = cos6sinC.
C08« = COSftcOSC,
tang^ = sine tangB,
tangc = sin^ tangC.
cosa — cotBcotC,
cosB — sinCcos^r,
cosC = sinBoosc.
Transformations propres è l'emploi des logarithmes. Formules
de Delambre et de Néper.
77. La formule fondamentale (i) peut sçfvîr, comme nous Favons dit, pour calculer un angle d*un triangle sphërique dont les trois côtés sont connus; mais elle se trau informe en une autre plus commode pour 1 ^emploi des loga-^ rithmes.
L'inspection de Tëquation (i)
cosâ = COS&COSC + sin& sinccosA
conduit à remplacer cosA par un binôme dont un terme soit Funité. Or (56) on a
cos A = 1 — 2 sin' — et cos A = a cos* 1 ,
et l'équation (i) devient par la substitution de ces deux expressions de cos A
cos {b — c) — cosa = 2 sinft sînc sin* — ?
cosa — cos (i 4- c) = 2 sin b sine cos* — •
Ici une seconde transformation se présente naturellement, car on sait que la différence de deux cosinus se remplace par un produit. On a en effet (59)
cos
(6 — c) — cosa= 2 sin- (a -h b — c)sin-(a -hc — b),
cosa — cos(6 -+-c) = 2sin- (a + i 4- c)sin- (i -h c — a). D'après cela ^ et si Ton pose, pour abr^er,
on obtient
sm
cos —
sin(p — b) sin(/? — c
sin 6 sine
sin/? sin (/> — a) sin b sin c
et , par suite ,
tang--
sin [p — b] sin [p — c] sin/?sin(p — a)
DES TRIANGLES SPfiÉRIQUES. OJ
Il est évident que la formule (4) doit se transformer d'une manière tout à fait analogue.
En posant
2P = A-f-B-f-C — i8o«, on trouve
. a ^ /sinPsin(A
iin - = t / — ^—
2 y sinBsi]
A — P) smt
cos
a / sin(B — P)sin(C — P) ^ 2 y sinBsinC
a / sinPsin(A — P)
* ^*°g 2 ■" V sin(B — P)sin(C — P)*
78. Formules de Delambre. On a vu (66) qu'il est utile, dans la résolution des triangles rectilignes, de considérer la demi-somme et la demi - différence de deux
angles. Cherchons les quantités et dans un
triangle sphérique.
En substituant les expressions précédentes de sin — et
de cos— 9 ainsi que leurs analogues sin - et cos — 9 dans la
formule de sin ( 1 1 9 on a '
sin = sin — cos — h cos — sin-
^ /s\n^ {p — b)sïn{p — c) sin/;
sin 6 sin' c sin a
sïnpsin^lp — a) sïn(p — c) sin 6 sin* c sin «
sin{p — a)-\-sin{p — b) ^ /sïnps'\n(p — c) sin c
/sïnpsin(p- V sin^sin
Or, en comparant ce dernier radical à l'expression prëcé-
58 EéSOLLTIO*
denU* de cos — » on reconoait régalilé
sînpsin p — c^ C
