IL -Ç-r '- = cos
sinasmo 2
en second lieu, d'après le n° 59, on a, pour transformer une somme de sinus en un produit,
— <k SlWl ±
s\n(p — à) -f-sin(p — h) = 2sui -^ — cos
= a sin - cos ^
enfin, d'après le n° 56, on a
. c c sin c = 2 sin - cos —
Ou en conclut
c . Ah-B c a — b cos — sin = cos — cos • •
On trouve, en procédant d'une manière analogue,
c- A-f-B . C a-^b cos - cos = sin - cos '*
. 6' . A — B G . a—b sin - sin ^ = cos- sm >
, c A — B .C.a-h^ sin - cos = sm - sm
Ces quatre équations portent le nom àe formules de De-lamhre. Elles donnent, comme le dit M. Le Verrier (J?echerches astronomiques^ tome I, page 28), la solution la plus élégante de la question duIII^ Cas. Soient donnés les deux côtés a, et l'angle C qu'ils comprennent. « Les seconds membres de ces formules ne renferment que les^ (juanlités données, tandis que les premiers membres ne renferment que les inconnues. Lorsqu'on aura calculé les-
DfiS TRIAUGLES SPHÉRIQUES. 5g
seconds membres » les deux premières équations feront counaître 1 angle par sa tangente et en outre cos -; les
deux dernières donneront Tancle et en outre sin —
ce Connaissant ainsi sin- et cos -9 on divisera «l'un par Fau-
Ire, en sorte que le demi-côié - sera lui-même déterminé
par sa tangente » .
Si la question était celle du IV® Cas, les quantités connues seraient dans les premiers membres et les inconnues dans les seconds : on procéderait d'une manière analogue.
79. Analogies de Néper, En divisant la première formule de Delambre par la deuxième , et la troisième par la quatrième , puis la quatrième par la deuxième, et la troisième par la première ^ on trouve les formules qui portent le nom â^ analogies de Nèper, Les voici :
tane = t col - ?
cos
a — h sin
sin
lanff == 1 col - 9
, cos
tang-^— =— ^-pgUng-,
cos
sin
lane = r ^r tane-«
^•2 . A-h-B ^2 sin
6o l SAGE
Lorsc|ue l'on connaît deux angles et les côtés opposés, ces formules donnent très-aisément le troisième angle et le troisième cèié.
§ Vil. tSAGE DES TABLES DE iX>GABITHMBS DE CAJXBT.
TYPES DE CALCULS TBIGONOHfiTUQUBS.
80. Les lecteurs connaissent les propriétés générales des logarithmes, ainsi que la disposition et Pusage de la partie des tables de Callet, qui contient les logarithmes des nombres jusqu'à 108000. Us savent que, lorsqu'il s'agit d'obtenir le nombre qui répond à un logarithme, il conyient que celui-ci soit sous la forme décimale, ayant sa partie fractionnaire positive, sa partie entière étant positive ou négative, selon que le nombre est plus grand ou plus petit que I . La partie fractionnaire du logarithme ainsi écrit fait connaître, au moyen de la table, la série des chiffres significatifs (y compris les zéros intermédiaires) qui compose l'expression du nombre ; la partie entière, qui s'appelle caractéristique , détermine dans le nombre la place de la virgule. La caractéristique s'écrit immédiatement avant la virgule du logarithme 5 et, si elle est négative, elle est surmontée du signe — .
Exemple : de log x = 3 , 6 1 49^94
et de log7= 3,6149394 on conclut
j: = 4120,4 et ^ = 0,004 i2o4-
Lorsqu'on doit multiplier un logarithme négatif, on fait la multiplication à l'ordinaire, jusqu'à ce qu'on arrive à la virgule \ on multiplie ensuite la caractéristique et l'on écrit le nombre négatif, somme algébrique du produit négatif de cette multiplication el de ta retenue posilî\c donnée par la partie fractionnaire.
DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES. 6l
Exemple : 3 , 61 49394 X 2 = 5 , 2298788.
Lorsqu'on doit diviser un logarithme négatif, si la caractéristique n'est pas un multiple du diviseur, on augmente sa valeur absolue du moindre nombre nécessaire pour qu'il soit divisible, et l'on fait la division, en ayant soin d'ajouter le même nombre entier à la partie fractionnaire à diviser.
Exemple: -.5,2298788 = 3,6149394.
81 . Les sinus et cosinus étant moindres que l'unité ont leurs logarithmes négatifs. Si les tables les donnent sous la forme positive, si, par exemple, pour log sin 28° 3i' 10" on
a mis 9,678934^, au lied de i ,6789342, c'est afin de diminuer autant qu'il est possible les interlignes dans ces tables imprimées. Mais, contrairement à l'opinion de plusieurs auteurs d'ouvrages destinés à l'enseignement, il convientd'écrire toujours les logarithmes des sinus et cosinus, comme ceux de tous les nombres moindres qvie l'unité, avec leur caractéristique négative \ de sorte qu'au lieu des chiffres 9, 8, 7^ 6 et 5, qu'on voit dans les tables, à gauche de la partie fractionnaire de ces logarithmes, il est mieux de lire et
d'écrire 1 , 2, 3, 4 *^t 5 , c'esl-à-dire de retrancher les dix unités qui sont de trop (*).
La même observation s'applique aux logarithmes tangentes des angles de 0° à 45", et aux logarithmes cotangentes des angles de 45° à 90°.
Au contraire, les autres logarithmes tangentes et colangentes sont dans les tables avec leur valeur non altérée.
(*) L'emploi delà caractéristique seule négative, recommandé dans la première édition de cet ouvrage (i8.'^2) et proposé longtemps auparavant {Cours de Mathématiques de Francœur, 1819) , est adopté à l'Observatoire do Paris {Recherches aslronomiqucs de M. Le Verrier, i855).
82. Usage des tables trigonométriques . Daus les tables de logarithmes trigonométriques, chaque colonne a denx titres : Tun en haut, Tautre en bas,, disposition fondée sur ce que le sinus et la tangente d*un angle sont aussi le cosinus et la cotangen te de Tangle complément. Les minutes et secondes qui se rapportent aux titres supérieurs sont à gauche de la page, celles qui se rapportent aux titres inférieurs sont à droite.
L inspection d'une table suffit pour vérifier que le logarithme d'une tangente est la différence des logarithmes du sinus et du cosinus du même angle, et que la somme des logarithmes de la tangente et de la cotangente d'un mèm6 angle est égale à zéro^ ce qui résulte des rels^tions
sina I
tanga = et cota =
cosa tanga
Lorsque les angles contiennent des parties fractionnaires de seconde^ ces parties s'écrivent en fractions décimales de la seconde. Les tables de Callet donnent immédiatement le logarithme cherché lorsque l'angle est composé de degrés, minutes et dizaines de secondes.
Pour les autres cas, nous joignons ici un type de la disposition que nous conseillons de donner aux calculs par lesquels on trouve le logarithme demandé quand on connaît Tangle ou réciproquement.
83. Trouver les logarithmes des quatre principales lignes trigonométriques de F angle A = 8° i3' 5a'^, 76.
,i55 8ii8
agi 2
DES TABLES TKlGONOMÉTRIQliES.
logtengA[8'*i3'52",76] =
lo
1,996 5oo5 ai7
gcolAr8M3'6o" "1 r= ^/ - - i486
Explication. A la suite de la notation log sin A, j'écris dans une parenthèse la valeur donnée de cet angle, afin de Tavoir immédiatement sous les yeux dans l'opération à effectuer. J'écris, à la suite de celte parenthèse et du signe = , la valeur de log sin8^ i3'5o'' lue dans la table^ et audessous de la parenthèse j'écris <i=i456 : c'est la différence^ que donne également la Table, entre le logarithme écrit et celui qui suit ^ elle correspond donc à un accroissement de 10'' que prendrait l'angle. Cela (ait, je multiplie cette différence parla fraction 0,276, qui est (relativement à la dizaine de secondes prise pour unité), ce qui manque à S^iS'So'' pour faire l'angle-^. J'écris, à mesure que je les forme, les produits partiels de celte multiplication, audessous du logarithme tabulaire, en n'écrivant pas les centièmes, et me bornant à en joindre les retenues aux dîxiè-
mes. Enfin, j'ajoute ces produits partiels au logarithme tabulaire et j'obtiens , en m'arrètant au septième chiffre fractionnaire, log sin = i , i558520.
La même marche s'applique au calcul du log tangA.
Elle subit une légère modification quand il s'agit du cosinus et de la cotangente.
Après log cosA j'écris dans la parenthèse, au lieu de Tangle A, l'angle immédiatement supérieur qui se trouve dans la table : c'est 8°i4' ou 8®i3'6o'', dont j'écris à la suite le logarithme cosinus donné par cette table. Ce logarithme est trop faible, puisque j^ai pris l'angle trop fort, récris au-dessous de 8° i3'6o'' la différence algébrique — 7", a4 qtt'îl faut y joindre pour avoir l'angle A. Plus bas, je pose la différence tabulaire — 3 1 , que subit le logarithme cosinus quand Tangle augmente àe lo". E^ multipliant les deux nombres négatifs — 3i et — 0,724, j'obtiens ce qu'il faut aujouler au premier logarithme écrit. Je procède dans cette opération comme dans le cas du sinus, et je trouve
log c.osA = 1,9955027.
Le calcul de logcot A est tout à fait analogue à celui de logcosA, parce que la cotangente comnie le cosinus diminue quand l'angle augmente.
Faisons les calculs pareils pour un angle supérieur à 45**. Soit B = 81° 4^' 7"»24. Nous le prenons égal au complément de A^ afin que la vérification des résultats soit très-facile. Toute explication est d'ailleurs inutile.
logsinB[8i°46' 7",a4] =
1 ,995 5oo5
DES TABLES TRIGONOMÉTRIQtlES.
logtangB[8i°46' 7",M] = d- i486
logcosBr8i*»46'io'' 1 =
— 2,76j rf=r-i456
7,i55 8ii8 10J9
IogcotBr8i°46'io" 1 -
— 2,76 dt= i486
T,i68 3o83 io4o
84. Trouver V angle auquel appartient une ligne tri' gonométrique dont le logarithme est donné. Exemples :
log8inA[8°i3'52",76] = i,i55 852o
logtangA[8°i3'52",76] =
logcosA[8M3'52",8 ] =
4ioo II 280
logcotA[8*»i3'52",76] = 0,8896507
fiaS
Explication. A la suite de la notation logsin A , j'ouvre une parenthèse que je laisse en blanc pour y écrire plus tard Tangle cherché. Plus loin, après le signe =^, je pose le logarithme donné. Je cherche dans la table , colonne des sinus, le logarithme qui approche le plus , au-dessous ,
du logarithme donné : je trouve i,i558ii8 qui est le logarithme de sin8° i3'5o. En conséquence, j'écris dans la parenthèse 8^ i3'5 , en laissant encore en blanc les imités et la fraction de seconde. Les trois derniers chiffres du logarithme trouvé dans la table étant différents de ceux qui sont donnés, je les écris au-dessous; et, plus bas, je mets la différence 4^2; je la multiplie par 10 et je divise 4020 par la différence tabulaire. Le quotient poussé jusqu'à ce que les unités de Tordre du dernier chiffre donné soient épuisées est le nombre 2,76 à ajouter aux 5o" d'abord obte* nues. Pour indiquer que dans la parenthèse on écrit d'abord 8°i3'5^ puis 2'', 76, ces derniers chiffres sont imprimés dans le type qui précède en caractères plus forts. .
On trouve de la même manière Tangle dont le logarithme tangente est donné. Mais la marche est un peu différente quand il s'agit du cosinus et de la cotangente.
Dans l'exemple précédent, logcosA = i^gSSSoay. Je cherche dans la table, colonne des cosinus, le logarithme qui approche le plus, en dessus , du logarithme donné : je trouve
1 ,995 5o36 = log cos 8° 1 3' 5o* J'écris dans la parenthèse 8** i3'5 en laissant en blanc les unités et la fraction de seconde. Les deux derniers chiffres du logarithme trouvé étant seuls différents de ceux du logarithme donné , je les
