VIII. PROBLÈMES DIVERS DE TRIGONOMÉTRIE
86. Trigonométrie RECTiLiGNE. — I. Troui^er la distance AB (fig* 16) entre deux points inaccessibles. On mesurera unç base CD, et les quatre angles ACD, BCD, ADC, BDC que font avec elle les droites ou rayons visuels dirigés de ses extrémités C et D vers A et B. On mesurera aussi Fangle ACB qui ne sera pas la différence des angles ACD et BCD si les deux droites DA et CB ne sont pas dans un même plan. On résoudra les triangles ACD et BCD (64) •, puis connaissant les côtés CAet<]B du triangle ACB et l'angle
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mesuré ACB qu^ils comprennent, on en conclura la distance A6( 66).
II. Réduire à V horizon un triangle dont une base est horizontale. Le point A {fig* 17) ayant été obsenré des deux extrémités d^une base horizontale BC, les côtés et les angles du triangle ABC sont supposés connus. Il s'agît de calculer les côtés BA', CA' et les angles du triangle BCA', projection horizontale du triangle BCA. A cet effet, on mesurera les angles ABA', ACA' que les droites AB et AC font avec Thorizon. On calculera BA'=:BAcos ABA' et CA'=CA cos ACA^ Connaissant ainsi les trois côtés du triangle A^BC, on calculera ses angles (67).
III. Les quatre points A, B, C et D {fig^ 16) étant dans dans un même plan , on connaît les côtés et les angles du triangle ABC , et les angles BDA , ADC désignés par (3 et 7^ il s'agit de résoudra les deux triangles ABD et ADC.
Soient AC = i, AB = c, angle BAC = A, angle ABD =x, angle ACD = j^. Les deux triangles ABD, ACD fournissent deux expressions égalas du côté commun AD, savoir (64) :
, . ' in^ frsinr
(i) — : — ZT = — '- — »
^ ' smP siny
la somme des angles du quadrilatère ABCD donne (•2) a:-f-jH-A-f-/3-f-7 = 36o**.
Connaissant ainsi x-h^, on cherche x — J^ par un procédé analogue à celui du n** 66, 3°.
De Téquation (i) on tire, en posant
/o\ csinv sinr
On en conclut
sin X -f- sin j i -h tang^ tang45^-f-tangy
sin^ — sinj i — tangy i — tang45**tang(p
DE TRieOMOMÉTRIE. ^3
d'où (67 et 59)
(4) ^1 =taag(45''+y).
sin
Les équations (a) et (3) faisant connaître =^ et y,
I équation (4) donne ^; on en conclura x et j'. Ainsi
dans chacun des triangles ABD et ÂDC on connaîtra deux angles et un côté , ce qui ramène au cas du n^ 64.
IV. Trouver la relation entre le nombre de degrés d'un arc de cercle a , la corde c qui le sous-tend et son rayon r.
En menant du centre une perpendiculaire sur la corde, on a un triangle rectangle qui donne la relation cherchée
- =z= rsin-'
II suffira de connaître deux des quantités a, o, /* pour en conclure la troisième.
87. Trigonométrie sphérique. — I. Etant données les longitudes et les latitudes de deux points K et ^ du globe terrestre^ tromper leur distance en degrés. Les latitudes sont comptées positivement si elles sont boréales^ les longitudes sont supposées positives* vers l'est, et la longitude du point B est supposée plus grande que celle de A. Cela admis, si C est le pôle boréal , les trois points A , B et C sont les sommets d*un triangle sphérique , dont deux côtés sont donnés, savoir AC == 90° — latitude de A, BC =90** — latitude de B; et l'angle C du même triangle, compris entre ces mêmes côtés est la difl'érence connue des deux longitudes. La distance demandée est le troisième côté qm'on trouvera comme au n*^ 75 , IIP Cas , ou au n? 78.
