EXPRESSION DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES PAR LEURS ÉQUATIONS

§ I. GÉNtmjkUTtS SUR CE SUJET.

i"*. Coordonnées parallèles à des axes concourants.

88. L'emploi des coordonnées, cpii (n^^ 7 et 13) sert à désigner la position d'un point dans un plan ou dans l'espace, fournit aussi le moyen d'exprimer algébriquement la situation d'une suite de points soumis à une même loi, et formant soit une ligne, soit une surface : il suffit pour cela d'écrire en une ou plusieurs équations les relations qui lieut entre elles les coordonnées algébriques d'un même point pris arbitrairement parmi ceux dont il s'agit. C'est ce qui va s'éclaircir en considérant les divers cas renfermés dans cet énoncé général.

89. S'il s'agit d'une courbe plane, on imaginera dans sou plan deux axes coordonnés Ox, Oy, et l'on tâcbera de tirer de la définition de la courbe une équation qui exprime la relation entre les coordonnées x, y, d'un point quelconque de cette courbe. Cette équation entre les variables x^y^ et les quantités constantes fournies par la question, s'appelle Y équation de la courbe rapportée aux axes coordonnés Ox, Oy.

Exemples, i°. Un cercle dont le rayon est r, et dont le centre est à l'origine des coordonnées rectangulaires, a pour équation (12)

j^* -h x* = r' ou y :=^± sjt* — x^.

PARALLkLES A DES AXES. *]*]

2**. Un cercle tangent à Taxe des x, au point pris pour origine des axes rectangulaires, a pour équation

(y — ry "{' x^ =^ r'^ ou y^ — 2 ry -4- x* = o,

ou encore

/ = r zt: sjr^ — x*.

Cette équation peut servir à tracer par points sur le terrain un arc de cercle, d'un très-grand rayon connu, tangent à une droite donnée.

Lorsque, pour aider le raisonnement, on veut exprimer de la manière la plus générale l'équation d'une courbe en coordonnées x ^ y ^ on la représente par le symbole F (x, y) = o, dont l'énoncé est : fonction de x et de y égale zéro, ou par^ = F (x), dont l'énoncé est :y égale fonction de x. Dans ce second cas, on suppose que l'équation est résolue par rapport à y.

Généralement on entend par une fonction d'une ou de plusieurs ^variables Fexpression d'opérations quelconques à faire sur ces variables^ combinées soit entre elles, soit avec des constantes.

90. S'il s'agit d'exprimer algébriquement une ligne à double courbure (c'est-à-dire non située dans un plan), ou plus généralement une courbe située d'une manière quelconque par rapport à trois axes coordonnés, la question se réduit à trouver deux équations auxquelles doivent satisfaire les trois coordonnées x^y, z^ de tout point de cette courbe. Si l'une des équations ne renferme que deux coordonnées, elle est l'équation de la projection de la courbe sur le plan des deux axes coordonnés correspondants : car, pour un point quelconque de la courbe dans l'espace, les coordonnées x^y<i par exemple, sont les mêmes que celles de sa projection sur le plan des x ely*

Exemple, Si la courbe est située sur une spbère dont le

8o GOÔRDOSStCS

La position da point M dans ce plan sera déterminée par deux quantités, saToir :

I*. L'ange nOx on a que décrirait une droite On pour faMer de la direction Ox à la direction OM ;

2^. L'abscisse ii, du point M, sur la droite Ou : cette abscisse prend le nom de rayon 'vecteur.

Ces deux quantités, a, u, s'appellent coordonnées polaires. On peut, en les prenant tontes deux positives, exprimer la position d'un point donné quelconque dans le plan ^ mais rien n'empécbe d'admettre aussi des coordonnées polaires négatiTCs, et, moyennant cette convention, la position d'un même point peut être exprimée par quatre systèmes équivalents de deux coordonnées. Exemple :

a = i20<^, ja=r 3oo^, la = — a4o^ ltf = — 60°, tt = o*,5, \u = — o^yS, \u= o*,5, j i/ = — o*,5.